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^inh 2013120500 phaenomen
Metrisch korrekte Notation von Rhythmen -- II
Unser Lösungsvorschlag


1          Aufgabenstellung
1.1          im Spannungsfeld zwischen Metrik-Mittelgrund und Rhythmus-Notation
1.2          Eigenschaften, Arten und Rollen von Algorithmen
2          Der "metricSplit" Algorithmus zur metrik-adäquaten Notation von Ereignisfolgen
2.1          Übersicht
2.2          Eingabe: Dauern, Zeitpunkte und Ereignisse
2.3          Der Metrikbaum
2.4          Eingabe und Phase Null/Prop: Konstruktion von Metrikbäumen durch Metrikbaum-Spezifikationen, Propagierung der Dauern-Informationen
2.5          Exkurs: Konventionelle Taktart-Bezeichnungen und Metrikbaum
2.6          Verhältnisse von Metrikbaum und zu notierendem Rhythmus
2.7          Eingabe: Stilparameter
2.8          Dauernwerte und Schreibweisen
2.9          Proportionen in der Vordergrund-Notation
2.10          Arten von Proportionen
2.11          Phase Null-Zwei/Prop-Zwei: Vorbereitung der n-olen-Klammern; Kriterien für Schreibbarkeit
2.12          Phase Eins/IC: Finden der Initialen Überdeckung
2.12.1          Exkurs: Typische Verwendung der Alternativen für die Festlegung der Scheibweisen von spontanen n-olen
2.13          Phase Zwei/Div: Synthese und Hinzufügung weiterer Teilungen
2.14          Phase Zwei-B/Approx: Approximierung von höherzahligen Nennern
2.15          Phase Drei/Merge: Mustergesteuerte Zusammenfassende Transformation (Merging Transformations)
2.15.1          Grundsätze
2.15.2          Anwendbarkeit der Muster und E-Schreibbarkeit von Knoten
2.15.3          Verschmelzung von Geschwistern
2.15.4          Verschmelzung mit Cousinen: Synkopen und Hemiolen
2.15.5          Mehrfache Synkopen
2.15.6          Verschmelzung mit Tanten und Neffen: Punktierungen
2.15.7          Exkurs: Die nette, aber problematische Teilung durch vier(4)
2.16          Konflikte bei der Transformation
2.16.1          Konflikt Geschwister vs. Cousinen
2.16.2          Konflikt Geschwister vs. Punktierung
2.16.3          Konflikt Positive vs. negative Punktierung
2.17          Kombinationen von Transformationen: Zweier-Synkope und Hemiole vs. Punktierung
2.18          Phase Vier/BrSel: Auswahl der notwendigen n-olen-Klammern
2.18.1          Exkurs: Zweckmäßigkeit Verselbständigter n-olen
2.19          Phase Fünf/Nota: Generierung der Notationssymbole, Übergang von Knoten auf Noten
2.20          Phase Fünf/Nota: Minimale Freie Zerlegung
3          Ausblick
3.1          Mögliche Verwendungen
3.2          Mögliche Erweiterungen
4          Demo-Applikation DemoMetric
5          ANHANG: Genauere Diskussion von E-Schreibbarkeit und Zusammenfassenden Transformationen, nebst lustigen extremen Beispielen
5.1          Zusammenfassende Überlegungen
5.2          Beispiele für Kombinationen aus drei(3) und fünf(5)
5.3          Beispiel für Punktierungen und Abkürzende Proportionen
5.4          Beispiele für die höheren Spontanen Ausnahmen
6          Danksagung

^Inh 1 Aufgabenstellung

^Inh 1.1 ...im Spannungsfeld zwischen Metrik-Mittelgrund und Rhythmus-Notation

Im Vorgängerartikel senza tempo 20121027 00 haben wir ausführlich die Grundlagen und Mittelgrund-Konzepte der mehr oder weniger avancierten Konstruktion von Takt-Metriken im Rahmen der "Common Western Notation", "CWN", diskutiert. Dort war dies u.a. Vorbereitung für Rezensionen von älteren Publikationen zu Problemen der "taktart-konformen Rhythmusnotation" am Schluss des Artikels. Hier nun, wie angekündigt, unser eigener Ansatz.

Zunächst einmal sei definiert, dass eine Metrik die lückenlose Zerlegung der Gesamtdauer eines Taktes in Unterabschnitte darstellt, wobei jedem dieser Abschnitte je unterschiedliche Rollen und Regeln, Spielweisen und Wirkungsmuster zugeordnet werden können. Welche, ist abhängig von Stil, Epochen und Gattung und wird hier nicht behandelt. Fundamental ist aber, dass diese Zerlegung rekursiv weitergeführt wird, und jeder dieser Unterabschnitte auch wieder dieser Art von Zerlegung unterworfen werden kann; es ergibt sich eine metrische Hierarchie.

Ein Musikstück bestehe aus Takten; je Takt gelte eine Metrik.

Ein Rhythmus sei eine Folge von Startzeitpunkten, die in einem Takt notiert werden sollen.

Es müssen nun verschiedene Aufgabenstellungen im Spannungsfeld zwischen taktbasierter Metrik und Rhythmus wohl unterschieden werden, da sie zwar teilweise eng zusammenhängen, teilweise aber auch gar gegensätzliche Voraussetzungen und Konsequenzen mitsichbringen. Es sind ...

  1. Das "Notations-Problem"
    bedeutet das Finden der adäquaten Notation eines gegebenen Rhythmus' bei einer gegebenen metrischen Struktur des Taktes.
  2. Das "Induktions-Problem"
    bedeutet das Finden einer gemeinten metrischen Struktur, wenn nur rhythmische Dauernwerte gegeben sind.
  3. Das "Abweichungs-Problem"
    bedeutet die Konstruktion von partiellen, lokalen Modifikationen einer gegebenen metrischen Struktur eines Taktes, wenn spontan rhythmische Werte auftreten, die in dieser nicht darstellbar sind (wie die recht häufigen spontanen Triolen, etc.)

Die Induktions-Problem ist fast die gegenteilige Aufgabenstellung zum Notations-Problem; das Abweichungs-Problem muss in praktischen Zusammenhängen durchaus als Erweiterung des Notations-Problems behandelt werden. Dieser Text behandelt nicht das Induktions-Problem.

Das Notations-Problem wurde im Vorgängerartikel wie folgt präzisiert: Es besteht grundsätzlich darin, eine abstrakt gegebene Folge von Ereignis- und Pausendauern (z.B. codiert als rationale Zahlen), die genau die Dauer eines gegebenen Taktes (mit einer bekannten metrischen Struktur) füllen, in eine Folge musikalischer Dauernsymbole zu übersetzen.
"Dauernsymbole" sind dabei im allgemeineren Sinne alle "terminalen Symbole" der CWN-Notation, welche Dauern ausdrücken, also Formen der Notenköpfe, Fahnen oder Balken, Verlängerungspunkte, Haltebögen und n-olen-Klammern. Im engeren Sinne, immer dann, wenn sie gezählt werden und ihre Anzahl minmiert, gelte ein(1) Notenkopf nebst seinen Verlängerunspunkten als ein(1) Dauernsymbol.

Zunächst einmal muss diese Notation die Längenverhältnisse der Ereignisse und der Taktdauern korrekt wiedergeben. Dies scheint zwar eine selbstverständliche Forderung, wird aber dennoch im folgenden explizit als "Arithmetische Korrektheit" bezeichnet, und genauere Blicke in die historische Praxis werden sie als durchaus kritisch aufweisen.

Eine viel wichtigere und schwieriger zu fassende Eigenschaft nennen wir "Ergonomische Zweckmäßigkeit". Sie bedeutet, dass die jeweils gewählte Schreibweise die hierarchischen Ebenen innerhalb des Taktes möglichst deutlich zum Ausdruck bringt. Dies unterstützt das korrekte Notenlesen und Musizieren, da in metrischen Kontexten das Zeitgefühl sich viel mehr an diesen Hierarchien orientiert als an der abstrakten "berechneten" Dauer eines Ereignisses.

Als weitere wichtige Eigenschaften sehen wir "Stilistische Angemessenheit" und "Innere Konsistenz". Erstere ist eine historische Kategorie, welche die verlangt dass die in der Praxis entwickelten Konventionen je Gattung, Stil und Epoche auch von einem Algorithmus getroffen werden können; zweite bedeutet, dass gleiche und ähnliche Konstellationen an verschiedenen Stellen des Mittelgrundes auch überall gleich oder ähnlich in eine Vordergrundform übersetzt werden sollten. (Dies wird in unserem Ansatz durch Momente der "dynamischen Programmierung" erreicht, durch "caching" auf den verschiedensten Ebenen der Berechnung.)

^Inh 1.2 Eigenschaften, Arten und Rollen von Algorithmen

Eine mathematische Formulierung von Problem und möglichen Lösungen verfolgt grundsätzlich mehrere durchaus unterschiedliche Ziele, deren Extreme sind

(a) "Automatisierung":
In der Praxis der maschinellen Generierung und Verarbeitung von musikalischen Strukturen ist es häufig nötig, eine konventionelle CWN-Notation automatisch zu erzeugen.

(b) "(theoretische) Forschung":
Eine funktionierende mathematische Formulierung erlaubt es allemal, theoretische Diskussionen auf eine exaktere Grundlage zu stellen.

Bereich (b) läßt sich weiter unterteilen: Die Forschung kann (b1) der Modellierung selber gelten, sie kann (b2) verschiedene konkrete Historische Corpora versuchen, mit dem Algorithmen zu re-synthetisieren, und so deren innere Regeln konkreter bestimmbar zu machen, oder sie kann (b3) das Denken des Musikers versuchen nachzubilden, und enventuell sogar ausgewählte Modelle einer (hier: bezogen auf Metriken und Hierarchien, "Zählen" und Wahrnehmen) experimentellen Überprüfung unterwerfen.

Wir leisten hier lediglich die mathematische Aufstellung des Modelles, welches nur Grundlage des Bereiches (b) ist, aber auch eine funktionsfähige Implementierung (mit wenigen Einschränkungen), die als "Java package" vorliegt und in verschiedenste Programmierkontexte unmittelbar eingebunden werden kann.

Der Bereich (b), die theoretische Forschung, kann auch so differenziert werden, dass Folgearbeiten das Modell anwenden können, indem sie vorgefundenen Gegebenheiten zu re-konstruieren versuchen, und dadurch die dazu notwendigen Parameter ermitteln.

Es ist aber bereits die Erstellung des Algorithmus ein Re-Konstruktionsvorgang, und seine dabei festgestellten Eigenschaften sind Indikatoren für Eigenschaften der psycho-internen Modelle der Musiker durch die Jahrhunderte.

Diese Eigenschaften (siehe auch den Vorgängerartikel) sind u.a. ...

  1. Lokalität vs. Kontextsensitivität:
    Wieweit muss der Horizont des Wissens um eine bestimmte Stelle herum sein, wenn an dieser eine bestimmte Entscheidung getroffen werden soll?
  2. Deklarative Formulierung vs. Imperative:
    Ein Algorithmus der deklarativ beschreibt, welche Lösung die richtige ist, kann der Erkenntnis mehr nützen, als ein imperativer, der eine schrittweise Rechenvorschrift angibt. Dieser aber ist nicht immer automatisch ausführbar, wenn die entsprechende "Programmiersprache" fehlt.
  3. Neutralität vs. Heuristik, Totalität vs. Partialität:
    Dies sind zwei eng verbundenen Dimensionen: "Neutral" nennen wir Vorschriften, die ohne Ansehen der konkret zu behandelnden Werte immer gleichermaßen anwendbar sind; "heuristisch" alle anderen, die also für bestimmte konkrete Anwendungsfälle je (leicht) anders aussehen, aus Gründen z.B. des historisch entwickelten Gebrauches.
    Unser Gesamt-Algorithmus soll "total" sein, also alle denkbaren Eingaben erfolgreich verarbeiten. Dadurch ergibt sich in der Gesamtarchitektur eine typische Schichtung: Die oberen Ebenen bestehen aus neutralen Regeln. Dann folgen für bestimmte Spezialfälle Heuristiken. Darunter wieder, für alle unvorhergesehenen Restfälle, die dennoch behandelbar sein müssen, wieder neutrale Regeln als "fall-back Lösungen". Diese sind nötig, damit der Gesamt-Algorithmus total ist.
    Beispiel: Die Behandlung von genau zwei(2) kombinierten n-olen (Quintole und Triole, etc.) ist ein heuristisch gelöster Spezialfall, während alle übrigen Fälle (mehr als zwei(>2) verschiedene Primfaktoren) einem generellen Algorithmus überlassen bleiben.
  4. Parametrisierbarkeit:
    Die Arten der für die Anpassung des Algorithmus nötigen Parameter gibt Aufschluss über die Veränderung der Anforderungen an Notation über Epoche, Gattung und Stil.
  5. Minimalität:
    Von zwei Algorithmen, die in der gleichen Situation gleiche Ergebnisse liefern, ist der unaufwendigere zu bevorzugen, da er wahrscheinlich auch die "innere Logik" des Problemes als solchem besser nachbildet.
  6. Kompositionalität:
    Bei einem aus mehreren Teilen zusammengesetzten Verarbeitungssystem bedeutet "(freie) Kompositionalität", dass (prinzipiell) jeder Ausgang mit jedem Eingang verbunden werden kann. Oder auch, dass (prinzipiell) beliebige Verarbeitungsschritte eingeschoben werden können, und alle Verarbeitungsschritte mit einander kombiniert werden können. In unserem konkreten Falle z.B., dass Punktierungen unter beliebigen n-olen-Klammern stehen können, aber auch umgekehrt und beliebig verschachtelt; dass Haltebögen immer angebracht werden können, etc.
    Es zeigt sich einerseits, dass historisch determinierte Systeme häufig nicht-kompositional sind. Dann aber, dass die historische Entwicklung zu zunehmender Kompositionalität hinstrebt.
    Für einen Algorithmus ist Kompositionalität immer ein hohes anzustrebendes gut, ja, fast conidition sine qua non, denn sie garantiert einfache zukünftige Erweiterbarkeit und Wartbarkeit und sichere und einfache Arbeitsweise, besonders in der Hand von Nicht-Programmierern.

Die allerwichtigste und für ihre Rolle als Forschungsmittel fundamentale Eigenschaft jeder algorithmischen Realisierung ist aber die Explizitheit: Jedes Mensch, das sich mit Musik beschäftigt, hat ein intuitives Vorverständnis, eine aus früher Kindheit kommende Erfahrung im Umgang mit Klaviatur und Noten, Tonhöhen und Rhythmen, etc. Diese Erfahrungsschatz kann aber der Abklärung der Gegebenheiten durchaus hinderlich im Wege stehen, allein schon, weil er deren hohen Wert verdeckt. Algorithmisierung verlangt immer das Explizit-Machen aller Gegebenheiten, das Aussprechen, das Bewußt-Machen.

Wichtig (und für die Leser, die eher aus der musikwissenschaftlichen Richtung kommen vielleicht etwas ungewohnt, zumindest aber nicht immer unmittelbar präsent) ist, dass jeder Ansatz wie der hier vertretene, also jeder "mathematische" Ansatz, ein konstruktiver, positivistischer ist.
Es gelten jederzeit ausschließlich die Regeln und Einschränkungen, die explizit aufgestellt wurden, und was aus ihnen folgt.
Ja, "reine Mathematik" besteht grundsätzlich aus nicht mehr als genau derartigen Fragen: Welche weiteren Einschränkungen folgen aus den zu Beginn aufgestellten expliziten Grundsätzen. Man sehe z.B. den ganzen Kosmos der Gruppentheorie, der aus drei allereinfachsten Setzungen entsteht.
Es wird dort z.B. nur gefordert, dass es mindestens ein(>=1) "neutrales Element" gebe. Es folgt dann aus der Assoziativität, dass es genau ein(=1) solches gibt.

Die Forderung nach Minimalität bedeutet hier, dass die Forderung nach "genau einem" neutralen Element nicht (gleichzeitig mit der Assoziativität) zu den Axiomen genommen werden darf, da sie ja ableitbar ist, also als Axiom nicht erforderlich.
Diese Minimalität ist eine ästhetische Eigenschaft. Im landläufigen Wortgebrauch: "durch Schönheit befriedigend", aber auch durchaus im Kantischen: "die Wahrnehmung betreffend".

^Inh 2 Der "metricSplit" Algorithmus zur metrik-adäquaten Notation von Ereignisfolgen

^Inh 2.1 Übersicht

Der metricSplit Algorithmus, wie hier implementiert, ist ein Algorithmus zur metrik-adäquaten Notation von Ereignisfolgen, also zur "ergonomisch zweckmäßigen", "stilistisch angemessen", etc., wie oben definiert in Abschnitt 1.1.

Der folgende Text erläutert ihn und folgt seinem Ablauf, -- Darstellungen von notationstechnischen Grundlagen, Datentypen, historischen Gegebenheiten etc. werden immer da eingestreut, wo sie dafür notwendig werden.

Die im Vorgängerartikelrezensierten Algorithmen zu diesem Problembereich erhielten die zu bearbeitenden Dauernfolge bereits als Folgen von Notenwerten codiert, und arbeiteten durch deren sukzessive Zerlegung. Im Gegensatz dazu bearbeitet metricSplit beliebige rationale Zahlen als Startzeitpunkte und Dauern, und zwar durch schrittweise Zusammenfassung. Dies geschieht durch eine Abfolge von durchaus verschiedenen Phasen:

  1. Eingabe: Eine Ereignisfolge, ein Metrikbaum und eine Sammlung verschiedenartigster Stilparameter.
  2. Phase null/Phase Prop: Der Ereignisbaum wird vorbereitet, analysiert und n-olen-Klammern werden vorsorglich eingetragen.
  3. Phase eins/Phase IC: Für jedes Ereignis Finden einer "Initialen Überdeckung (initial coverage)", das ist die minimalen Knotenmenge, welche seine Dauer exakt überdeckt. Im Zuge dessen eventuell ...
  4. Phase zwei/Phase Div: Automatisches Erzeugen neuer Unterteilungen von Baumknoten für Dauern-Divisoren, die im Metrikbaum nicht vorgesehen sind.
  5. Phase drei/Phase Merge: Anwendung von verschmelzenden Transformationen (Merging Transformations) auf die Knotenmengen der Initialen Überdeckung.
  6. Phase vier/Phase BrSel: Aus den vorbereiteten n-olen-Klammern kann je nach auftretenden Werten eine Auswahl getroffen werden.
    [[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]
  7. Phase fünf/Phase Nota: Die ermittelten Knoten werden in je eines oder mehrere Dauernsymbolen übersetzt, verschachtelt mit den n-olen-Klammern ausgegeben und je Ereignis mit Haltebögen zusammengefasst.

Grundlegend wird in Phase eins die Folge der Startpunkte in eine Liste von Listen von Knoten des Metrikbaumes übersetzt. Diese werden weiter transformiert in den Phasen zwei bis vier. In Phase fünf wird dann von Knotenmengen auf ausgegebene Dauernsymbole übergegangen.

^Inh 2.2 Eingabe: Dauern, Zeitpunkte und Ereignisse

Der zu notierende Ryhthmus wird übergeben als aufsteigend geordnete Folge von Zeitpunkten relativ zum Anfang des Taktes.
Als erster Zeitpunkt muss der des Taktanfanges auftreten, als letzer der des Taktendes. Alle Zeitpunkte bis auf den letzten werden als Beginn eines Ereignisses aufgefasst, und als Ende des vorangehenden.

Eine parallellaufende Folge Bool'scher Werte gibt an, ob diese Ereignisse Klänge oder Pausen sind. Wir setzen voraus, dass in dieser Darstellung niemals zwei Pausen direkt aufeinanderfolgen. 1

In allen folgenden Betrachtungen und Formeln gilt, dass Dauern und Zeitpunkte (sowohl von primären musikalischen Ereignissen als auch von organisierenden Begriffen wie "Takt", oder abstrakten Teil-Intervallen eines solchen, etc.) stets als positive rationale Zahlen modelliert werden. Beide Größen haben zunächst keine Beziehung zur physikalischen Zeit, zur "Ausführungs-" oder "Aufführungs-Zeit".

Sie werden im folgenden hingegen explizit den Dauernsymbolen der CWN in ihrer konventionellen Bedeutung gleichgesetzt: Die Dauer, die durch die rationale Zahl "1/4" bestimmt wird, entspricht derjenigen, die durch eine "Viertel-Note" bestimmt wird (solange diese nicht unter einer n-olen-Klammer geschrieben ist. Näheres siehe Abschnitt 2.8).

Ein musikalisches Ereignis ist (a) ein in sich homogenes Klangereignis, das ein zusammenhängendes Zeitintervall ausfüllt, oder (b) eine derartige Pause. Wir sagen: Ein Ereignis "findet an einem Zeitpunkt t statt", wenn sein Zeitintervall an diesem Zeitpunkt t beginnt.

((EXKURS:
Diese Trennung wird als eine scharfe durchaus benötigt; in der Praxis finden sich allerdings häufig Kombinationsformen: Das Symbol einer Halben-Note, mit einem Haltebogen an eine folgende auf gleicher Tonhöhe gebunden, ist in diesem Sinne ein einzige Ereignis, dargestellt als zusammengesetztes Symbol. Wird aber nur über die Länge der ersten Halben eine crescendo-Gabel gesetzt, so ist die Forderung nach "Homogenität" verletzt und wir müssen zwei getrennte "Ereignisse" annehmen (die allerdings gebunden interpretiert werden, was aber für unsere Fragestellung zweitrangig ist.
Viel deutlicher noch wird da Problem bei dem Symbol einer ganzen Note, über dessen graphischer Breite hintereinander zwei(2) Gabeln, cresc, dann decresc. stehen. Auch dies kann in unserem Denken nur als zwei "Ereignisse" modelliert werden.
))

^Inh 2.3 Der Metrikbaum

Zweite grundlegende Eingabegröße in den metricSplit-Algorithmus ist eine Baumstruktur, die eine intendierte Hierarchie der metrischen Gliederung innerhalb eines Taktes wiedergibt, genannt Metrikbaum, wie bereits beschrieben und mit ausführlichen Beispielen vorgestellt im o.e. Vorgängerartikel , und wie inzwischen implementiert in bandm.eu.music.entities.MetricTree . (Die Form der Bäume im Vorgängerartikel weicht in wenigen aber wichtigen Details von der hier vorgestellten Implementierung ab!)

Es gilt für die konstruktiven Eigenschaften des Metrikbaumes:

  1. Der Baum als ganzer repräsentiert die metrische Struktur eines(1) Taktes, und jeder Knoten repräsentiert ein zusammenhängendes Teil-Intervall der gesamten Taktdauer.
  2. Jeder Knoten ist attributiert mit einer Dauer und mit einem Start- und einem End-Zeitpunkt relativ zum Takt-Startpunkt, entsprechend diesem Teil-Intervall.
  3. Der Wurzelknoten repräsentiert das Zeitintervall des gesamten Taktes. Dieses startet am Zeitpunkt 0/1.
  4. Jeder Knoten hat mindestens zwei(2) Kindknoten, siehe diese Liste, Listenpunkt 7.
  5. Jeder Knoten kann einen anderen Knoten als seine Alternative haben. Dabei haben beide Knoten dieselben Zeitwerte (Dauer, Anfang und Ende), aber zweckmäßigerweise abweichende innere Struktur. Kein Knoten ist seine eigene Alternative, auch nicht mittelbar ("transitiv").
  6. Alle Kindknoten desselben Elterknotens sind geordnet, d.h. es ist auf ihnen eine Reihenfolge definiert, und die durch sie repräsentierten Intervalle bilden in genau dieser Reihenfolge eine lückenlose Zerlegung des Intervalles des Elterknotens.
  7. Jeder Knoten der laut expliziter Definition keine Kinder hat, wird bei Bedarf implizit in zwei(2) Kindknoten gleicher Dauer zerlegt. Dies entspricht der traditionell ubiquitär möglichen Zerlegung in zwei(2) kleinere Notenwerte in der CWN-Rhythmusnotation. Dies hat zur Folge, dass der Metrikbaum unendlich ist. 2


Der Kürze halber sprechen wir im folgenden kurz von "seinem Intervall" für "das vom Knoten repräsentierte Intervall", und setzen beide in den meisten Kontexten sprachlich gleich, reden also von "frühester Knoten" statt "Knoten mit dem frühesten Startzeitpunkt" und "längsten Knoten" statt "Knoten mit der längsten Dauer". "Das Ereignis überdeckt den Knoten" bedeutet "die Geltungsdauer des Ereignisses überdeckt das vom Knoten repräsentierte Zeitintervall"; "die Knoten folgen unmittelbar aufeinander" heißt "die von den Knoten repräsentierten Intervalle folgen ...", etc.

Wichtig aus Sicht der Ziele und Prinzipien dieser Modellierung ist das oben definierte Prinzip der Explizitheit, dann nämlich für den Aufbau von Metrikbäumen keine weiteren Beschränkungen als die tatsächlich oben positiv aufgestellten gelten.

Die Kindknoten eines Elterknotens können durchaus verschiedene Dauern und verschiedene innere Struktur haben. Beides ist in der älteren Anwendung von CWN selten der Fall, macht aber die Flexibilität unserer Modellierung aus (verglichen mit den im Vorgängerartikel rezensierten Lösungen), und ist für neuere Entwicklungen wie Avantgarde, Jazz, Elektro, etc., durchaus unverzichtbar.
Die Teilung eines Elterknotens heißt äquidistant, wenn alle Kindknoten dieselbe Dauer haben. Sie heißt äquimorph, wenn alle Kindknoten dieselbe Dauer und dieselbe (unendliche!) innere Struktur haben.

Für die reine Anzahl der jeweiligen Kindknoten (unabhängig von deren Länge und Teilung!) gilt folgende Klassifikation:

Äquidistante Teilungen in zwei(2) oder drei(3) nennen wir "nett". Diese Teilungsformen sind die grundlegenden, und machen fast alle Situationen aus. Sie gehen auf die intra-psychische Kategorie der "mentalen Einfachheit" zurück, siehe den Vorgängerartikel.

Die Teilung in fünf(5) heißt "semi-nett". Sie kann u.U., je nach Struktur und Charakter des musikalischen Satzes, auch noch als mental einfach empfunden werden. (Wenn nicht, darf sie nicht angewandt werden, sondern muss durch 2+3 oder 3+2 ersetzt werden.) Notationstechnisch ist sie allerdings wesentlich komplizierter, da die Dauer des Knotens bei äquidistanter Teilung meist nur "zusammengesetzt schreibbar" ist (siehe Abschnitt 2.8).

Die Teilung in sechs(6) ist nicht erlaubt. Sie wird nicht als mental einfach empfunden, sondern allemal entweder als zwei-mal-drei oder drei-mal-zwei oder zwei-plus-vier, etc., empfunden, und muss folglich auch explizit so deklariert werden, da diese Anordnungen psychisch und notationstechnisch durchaus verschieden sind.

Teilungen in vier(4) sind erlaubt und "nett", aber "problematisch". Häufig ist zwei-mal-zwei zu bevorzugen. Das ist fast dasselbe, es ergeben sich aber unterschiedliche Begriffe von Synkope und Punktierung, die durch stilparameterkontrollierte Sonderbehandlung teilweise ausgeglichen werden müssen. Die folgenden Überlegungen gehen davon aus, dass die Teilung durch vier(4) zunächst nicht stattfindet; dies wird ausführlicher begründet in Abschnitt 2.15.7.

Alle anderen Teilungen n>5 heissen "Chopinesque". Bei diesen wird keine weitere innere metrische Hierarchie angenommen, sondern ein bewußt "a-metrisches" Verhalten und Rezipieren. Dies wird modelliert durch einen flachen Baum mit nur einer Hierarchiestufe, die alle diese n Teilungsknoten gleichberechtigt aufreiht. Darin sind alle Dauernwerte erlaubt, werden schlicht hintereinandergeschrieben und durchgehend bebalkt. 3 So wird in einer typischen "rechte-Hand-Girlande" in einem Chopinschen Prélude, die als "Achtel-Dreiundzwanzigstole" notiert ist, niemand Schwerpunkte suchen wollen, die durch metrische Maßnahmen bestimmt sind, sondern ausschließlich durch "frei im Raum fließende" Melodik, Motivik, Harmonik, Selbstähnlichkeit, Hochtöne, Espressivität, etc.
Aber auch eine Teilung durch eine so kleine Zahl wie acht(8) kann genau diesen Charakter haben, z.B. wenn sie einem 6/8-Takt entgegensteht. Ist hingegen eine metrische Gliederung doch gemeint, so wäre der Zähler acht(8) als 2*2*2 zu schreiben, und eine Sieben(7) z.B. als 2+2+3!
Umgekehrt kann auch eine Sechser(6)-Teilung, die als metrische Teilung ja verboten ist, als Chopinesque durchaus auftreten. Die Chopinesque geteilten Knoten erscheinen meist nur als temporäre Phänomene oder als lokale Metriken (besser: "Non-Metriken"). Aber auch auf diese Bereiche sind große Teile des hier vorgestellten Algorithmus' anwendbar, da ja die Knoten der oberen Ebene durchaus wieder zweigeteilt werden können, um z.B. Punktierungen aufzunehmen.

^Inh 2.4 Eingabe und Phase Null/Prop: Konstruktion von Metrikbäumen durch Metrikbaum-Spezifikationen, Propagierung der Dauern-Informationen

Ein Metrikbaum muss konstruiert werden durch eine Metrikbaum-Spezifikation. Dies ist eine ähnliche Datenstruktur mit nur diesen Unterschieden:

  1. Die Start- und Endzeitpunkte der Knoten sind undefiniert.
  2. Die Dauern der Knoten können undefiniert sein.
  3. Es gibt keinen implizite Teilung, d.h. der partielle Metrikbaum ist eine endliche Datenstruktur.

Eine Metrikbaum-Spezifikation kann mit den Parsern oder den Konstruktoren der Implementierung erstellt und danach ausgewertet werden wie folgt:

Eine Metrikbaum-Spezifikation wird in einen Metrikbaum überführt, indem (1) alle Dauerninformationen propagiert werden, (2) daraus die Start- und Endzeitpunkte berechnet, und (3) die implizite Zweiteilung aller Blätter hinzugefügt wird.

Die Propagierung der Dauern geschieht so, dass folgende Regeln so oft angewandt werden bis ein stabiler Zustand erreicht wird:

  1. Hat ein Elterknoten und alle seine Kindknoten einen Dauernwert, so muss jener mit der Summe dieser übereinstimmen.
  2. Hat ein Elterknoten keinen Dauernwert, aber alle seine Kindknoten, dann wird jener auf die Summe dieser gesetzt.
  3. Die Dauern aller Knoten, die als Alternativen zusammenhängen, müssen identisch sein. Hat ein Knoten aus dieser Menge keinen Dauernwert, aber ein anderer daraus, so erhält er dessen Dauer zugewiesen.
  4. Hat ein Elterknoten einen Dauernwert und alle seine Kindknoten bis auf einen(1), so muss die Differenz zwischen jener und der Summe dieser positiv sein und wird dem nicht definierten Kindknoten zugeordnet.
  5. Hat ein Elterknoten einen Dauernwert und keiner seiner Kindknoten, so wird die Dauer gleichmäßig auf alle diese aufgeteilt.

Dieser Regeln sind aus der Beobachtung der Praxis hervorgegangen und spiegeln das Denken des Musikers auf einfachste Weise. 4 Taucht während dieses Vorganges ein Widerspruch auf, oder weist der stabile Endzustand nicht jedem Knoten eine Dauer zu, so beschreibt diese Metrikbaum-Spezifikation keinen Metrikbaum. Ansonsten werden die Start- und Endzeitpunkte berechnet aus den Summen der Dauern der Vorgängerknoten.

Zur Denotation von Metrikbäumen benutzen wir im folgenden die Syntax, die auch von dem in der Implementierung bereitgestellten Parser erkannt wird. (Diese ist etwas anders als die Syntax im Vorgängerartikel!)

Seien a,b,n kleine ganze Zahlen und T1..Tn Terme dieser Denotation, so beschreibt ...

a/b einen Knoten der Dauer a/b (gelesen als rationale Zahl)
a/b(T) einen Knoten der Dauer a/b mit der internen Struktur T
T1+..+Tn einen Knoten mit n Kind-Knoten der angegebenen Strukturen
T1|..|Tn einen Knoten T1 mit den Alternativen T2 bis Tn, in abnehmender Priorität.
a*(T) einen Knoten mit a Kindknoten, alle von der angegebenen Struktur T
a einen Knoten mit a Kindknoten, ohne weitere Angabe

^Inh 2.5 Exkurs: Konventionelle Taktart-Bezeichnungen und Metrikbaum

Die im Vordergrund notierten Taktart-Bezeichnungen haben konventionellerweise Formen wie a/b, -- in Avantgarde und Volksmusik auch wie a+b/c, a/b+c/d, etc.

Diese tragen immer zweifache Bedeutung. Zum ersten geben sie, gelesen als arithmetischer Term und ausgewertet als rationale Zahl, die Dauer des beschriebenen Taktes an. Diese Bedeutung ist exakt und eindeutig und automatisch auswertbar.

Zum zweiten geben sie informelle Hinweise auf die möglicherweise gemeinte innere Strukur des Taktes. Im Vorgängerartikel hatten wir noch versucht, diese zweite Funktion, eingeschränkt auf die Bedeutung der westeuropäisch-klassischen Taktart-Bezeichnungen, systematisch abzuleiten, --- auch angeregt durch die dort rezensierten Arbeiten.

Dies halten wir mittlerweile für wenig fruchtbar und fassen eine Taktart-Bezeichnung im notierten Vordergrund nur noch als "Typenschild" auf, das einer expliziten Definition und Verlinkung auf einen Metrikbaum bedarf.

Die begriffliche Konstruktion hinter jenen mag zwar in wichtige Fällen mit mathematischen Methoden rekonstruierbar sein, und ihre Bedeutung (also der gemeinte Metrikbaum) automatisch erkennbar. In vielen anderen jedoch ist die Beziehung zwischen beiden rein historisch und durch Provenienz gegeben: So könnnte "11/4" im modernen Süd-Serbischen immer ein "4+4+3" sein, hingegen im Albanischen des Mittelalters eindeutig ein "3+3+3+2" bezeichnen, etc,.

Jedwede Formalisierung muss da fruchtlos bleiben. Stattdessen können unterschiedliche Kataloge bereitgestellt werden, die unter derartigen Labels den gemeinten Metrikbaum bequem zur Verfügung stellen.

Für die CWN der klassischen Epoche sähe dieser Katalog ungefähr aus wie ...

  2/4  ==>  1/2 
  4/4  ==>  1/1           oder  1/1(2*(2|3))    oder 1/1(2*2*(2|3))
  3/4  ==>  3/4(3)
  6/8  ==>  3/4(2*3)
  9/16 ==>  3*3*1/16
  //etc.

(Die beiden ausführlicheren Varianten für 4/4 zeigen die Metrikbaum-Spezifikationen, die für die Notation der Teilung durch drei Vierteltriolen resp. Achteltriolen vorsehen, wie weiter unten genauer beschrieben.)

In diesem Zusammenhang wird nochmals deutlich, dass die Ausdrücke der Form "a/b" in der Denotation für einen Metrikbaum tatsächlich rationale Zahlen bedeuten. Diese geben ausschließlich die Dauer eines Knotens an, und werden nicht als Strukturaussage interpretiert. Der Metrikbaum, der mit "3/4" bezeichnet wird, wird auf nächst-unterer Ebene in zwei(2) Knoten der Dauer 3/8 geteilt. Der traditionellen Taktart-Bezeichnung "3/4" entspricht vielmehr der Metrikbaum "3/4(3)"!

^Inh 2.6 Verhältnisse von Metrikbaum und zu notierendem Rhythmus

Das oben in Abschnitt 1.1 definierte "Notations-Problem" kann nun wie folgt präzisiert werden:

  1. Für einen gegebenen Rhythmus (=Folge von Dauern und Pause-Informationen) ist eine Folge von Dauernsymbolen zu bestimmen, deren konventionelle Bedeutung genau diese Dauernfolge ist.
  2. Für einen gegebenen Ryhthmus bestehen dazu allemal verschiedene, ja, unendlich viele Varianten.
  3. Aufgabe der Notation soll es nach dem o.e. Ziel der Ergonomischen Zweckmäßigkeit (siehe Abschnitt 1.1) sein, die gemeinte metrische Struktur der Mittelgrundes im Vordergrund der Notation möglichst deutlich auszudrücken. Dies soll dem Interpreten dabei helfen, die Mittel von Betonung, Phrasierung und Agogik bewußt bezogen auf die vom Autor gemeinte metrische Struktur einsetzen zu können, ...
  4. ...als auch die Lesbarkeit in Nicht-Realzeit, für Analyse und Verständnis, zu erleichtern.
  5. Zu diesem Zwecke muss aus der o.e. Menge der Notations-Möglichkeiten genau eine ausgewählt werden.
  6. Die Ergonomischen Zweckmäßigkeit wird am einfachsten dadurch erreicht, dass alle Transformationen nicht auf den Eingabedaten der bloßen Zeitpunkte operieren, sondern auf Knotenmenge aus der Baumstruktur, die ja die "auszudrückende metrische Hierarchie" unmittelbar repräsentiert.

Es gilt, dass alle zu notierenden Ereignisse nur an den (takt-relativen) Zeitpunkten stattfinden, wo auch Knoten des Metrikbaumes beginnen. Sind solche Knoten nicht vorhanden, werden sie in Phase Zwei/Div synthetisiert. Dies ist das ebenfalls von metricSplit abgedeckte, in Abschnitt 1.1 definierte "Abweichungs-Problem".

Wir sagen "ein Knoten tritt klanglich in Erscheinung", wenn an seinem Startzeitpunkt ein solches Ereignis stattfindet. (Es treten an jedem Ereigniszeitpunkt also immer unendlich viele Knoten klanglich in Erscheinung, da die jeweils ersten Kinder auch an diesem Zeitpunkt beginnen!)

Häufig ist es optimal im Sinne der Aufgabenstellung, wenn ein Ereignis durch nur ein(1) Dauernsymbol dargestellt wird.
Ist eine Darstellung in einem(1) Symbol nicht sinnvoll, wird die Dauer durch eine Folge von mehr als einem (>1) Symbol notiert, die untereinander durch Haltebögen verbunden sind. Die derart angebundenen Symbole sollten ebenfalls an Zeitpunkten stehen, an denen Knoten des Metrum-Baumes beginnen. Denn dadurch wird (im Sinne der Ergonomischen Zweckmäßigkeit) die gemeinte (und in Nachbartakten vielleicht auch exprimierte) innere metrische Struktur des Taktes optisch weiter verdeutlicht.

Nur wenn das nicht sinnvoll erscheint, z.B. weil die Anzahl der benötigten Dauernsymbole deutlich höher ausfiele, sollte stattdessen eine freie Zerlegung der zu notierenden Dauer, oder von Teil-Intervallen der Gesamt-Dauer, ausgewählt werden (s.u. Abschnitt 2.20),

Wir sagen ein Knoten tritt notationell in Erscheinung, wenn an seinem Startzeitpunkt ein Notensymbol geschrieben wird, das seiner Dauer entspricht. Ein notationell in Erscheinung tretender Knoten tritt genau dann auch klanglich in Erscheinung, wenn er nicht mit einem Haltebogen an seinen Vorgänger angebunden ist. 5

^Inh 2.7 Eingabe: Stilparameter

Bei der oben erwähnten Auswahl aus den unterschiedlichen Notationsmöglichkeiten (siehe Abschnitt 2.6, Listenpunkt 5) spielen Maßgaben von Epoche, Gattung und Stil, bis hin zu Personalstil und konzeptuell-semantischen Intentionen eine Rolle.
Eine generelle Algorithmisierung ist nur annäherungsweise möglich, und nur sinnvoll, wenn sie durch eine Fülle von Stilparametern angepasst werden kann.
metricSplit sieht zwei verschiedene Aggregate von Stilparametern vor: Parameters_explicitMode für Entscheidungen, die sich auf einen existierenden Metrikbaum beziehen. Davon getrennt Parameters_automatedMode für die automatischen Erweiterungen des vorgegebenen Baumes, wenn für bestimmte Proportionen nötig.
Wird dieser zweite Parameterblock zur Gänze weggelassen ("==null"), dann ist die automatische Erweiterung damit ausgeschaltet und der Algorithmus wird partiell.

Die einzelnen Parameter werden im folgenden mit den Schritten des Algorithmus dargestellt, den sie beeinflussen.

^Inh 2.8 Dauernwerte und Schreibweisen

Die zur Notation von Rhythmen zur Verfügung stehenden Symbole der CWN, unter denen es ja auszuwählen und zu kombinieren gilt, sind

  1. Notengrunddauern
  2. Pausengrunddauern
  3. Verlängerungspunkte
  4. Proportionen
  5. Haltebögen

Die Dauer eines klingenden Ereignisses wird dargestellt entweder durch genau einen(1) klingenden Summanden, oder durch eine Folge von mehr als einem (>1) klingenden Summanden, verbunden durch Haltebögen.
Ein klingender Summand ist eine Notengrunddauer zusammen mit beliebig vielen (incl. null(0)) Verlängerungspunkten und einer Proportion.

Die Dauer eines Pausenereignisses wird dargestellt durch einen(1) Pausen-Summanden oder eine Folge von solchen.
Ein Pausen-Summand ist eine Pausengrunddauer zusammen mit beliebig vielen (incl. null(0)) Verlängerungspunkten und einer Proportion.

Die Notengrunddauern und Pausengrunddauern werden gegeben durch graphische Symbole, die durch die Form der "Köpfe", An- und Abwesenheit eines "Halses" und die Anzahl der "Fähnchen" oder "Balken" bestimmt sind. Sind keine Verlängerungspunkte vorhanden und ist die Proportion die neutrale (s.u.), so bestimmen Notengrunddauer/Pausengrunddauer die notierte Dauer vollständig. Die so darstellbaren Dauern sind Zweier-Potenzen und bilden die Werte
Dg = {2^n | n<=0}.
(Siehe die Tabelle im
Vorgängerartikel, Abschnitt "Dauern" .)

Ein hinzutretender Verlängerungspunkt addiert die Hälfte der Dauer dazu, ein weiterer Punkt dazu noch die Hälfte der Hälfte, etc. Die folglich (bei neutraler Proportion) darstellbaren Dauern bilden also die Menge
Dp = {g * (2-2^(-p)) | p>=0 und g aus Dg},
mit p als Anzahl der Verlängerungspunkte. Ausgerechnet ergeben sich Dp zu {1, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, ...} Wir sprechen von den Dauern aus Dp als "Punktschreibweise", während das Wort "Punktierung" für die unten beschriebene Zusammenfassende Transformation reserviert wird.

Eine Proportion m/k, wobei m/k eine rationale Zahl ist (also als gekürzter Bruch geschrieben!), multipliziert die wie beschrieben notierte Dauer mit dieser Zahl als Faktor. Die Menge der mit dieser Proportion schreibbaren Dauern ist
D(m/k)= {h * m/k | h aus Dp}.
Die Proportion 1/1 heißt die neutrale, alle anderen merkliche.

Proportionen werden in dem hier verwendeten Mittelgrund-Modell für jeden Summanden einzeln angegeben. Dies vereinfacht das interne Rechnen ganz erheblich und erfüllt die oben als wünschenswert aufgestellten Prinzipien von Kompositionalität und Lokalität (siehe Abschnitt 1.2), ermöglicht so u.a das freie Rechnen mit Rationalen Zahlen als Dauernwerte beim algorithmischen Komponieren. Ausserdem spielen, anders als im historischen Ursprungskontext, in zeitgenössischen Anwendungen auch vereinzelte und untervollständige n-olen eine Rolle (siehe Vorgängerartikel), die so besser darstelbar sind.
(Der notationelle Vordergrund der CWN realisiert Proportionen allerdings anders, mit n-olen-Klammern, siehe nächsten Abschnitt.)

Die Menge der mit bereits einem(1) derartigen zusammengesetzten Symbol (aus Grundwert, Verlängerunspunkten und Proportion) schreibbaren Dauern ist nun
De = {d | es gibt m/k, so dass d aus D(m/k)}

Es gilt nun trivialerweise De = Rat. Für jedes a/b aus Rat gilt nämlich a/b in D(a/b), denn a/b = 1*a/b, und 1 ist in Dp. Die Dauer "7/4" könnte also notiert werden als ...

Ganze mit Proportion

(Diese die Ergonomische Zweckmäßigkeit völlig verfehlende, aber arithmetisch korrekte Möglichkeit ergibt sich nur aus erwähnter Unterstützung verselbständigter n-olen.)

Der Haltebogen erlaubt es nun, eine Folge von mehr als einem Summanden, soweit bis jetzt konstruiert, zu einer Summe zusammenzufassen. Die Menge der so schreibbaren Dauern ist nun
Ds = {d1+...+dn| für alle x aus 0..n gilt: dx in De}.
Trivialerweise gilt Ds=Rat, da schon De=Rat gilt, und Rat bezogen auf die Addition abgeschlossen ist.

^Inh 2.9 Proportionen in der Vordergrund-Notation

Im notationellen Vordergrund der CWN allerdings werden Proportionen mit n-olen-Klammern notiert.
Diese sind (in der langen, kompositionalen Schreibweise) mit "k:m" beschriftet, was bedeutet "spiele k Exemplare der Grunddauer X in derselben Zeit, in der ohne diese n-olen-Klammer m Exemplare gespielt werden würden."
6 (siehe Vorgängerartikel, Abschnitt über Dauern und n-olen).

N-olen-Klammern überspannen in der historisch ursprünglichen Anwendung immer eine lückenlose Folge von gleichlangen Notenwerten, mehr als einen. (Statt jedem von diesen kann ohne Einfluss auf das hier Gesagte eine arithmetisch korrekte Zerlegung in feinere Werte stehen.)
Man sagt, dass diese Dauern "unter der n-ole stehen". Es gilt für ihre effektive Dauer ein auf die notierten Dauern anzuwendender Faktor von m/k; in unserer Modellierung sind sie entsprechend mit der "Proportion m/k" attributiert.

N-olen Klammern können auch wohlgeschachtelt werden. Die für die darin notierten Dauern gültige Proportion ist das Produkt aller "über ihr" stehenden n-olen. Steht eine Dauer unter gar keiner n-olen-Klammer, so wird ihr die neutrale Proportion 1/1 zugeordnet.

^Inh 2.10 Arten von Proportionen

Der für die Arbeitsweise von metricSplit relevante Art einer p = Proportion(a/b) bestimmt sich durch die Größe von a und b ohne den Primfaktor zwei(2). Dieser nämlich läßt sich in CWN jederzeit durch Wechsel des Grundsymboles realisieren, spielt also für Proportion und Schreibbarkeit keine Rolle. 7 Dies vereinfacht die folgenden Überlegungen deutlich.

Sei a'/b' die Proportion, nachdem beide Zahlen durch die maximal enthaltene Zweierpotenz geteilt wurden. Dann gilbt:

Es gelten folgende Zusammenhänge, die auch die Wahl der Namen begründen:

^Inh 2.11 Phase Null-Zwei/Prop-Zwei: Vorbereitung der n-olen-Klammern; Kriterien für Schreibbarkeit

Die Eigenschaft der Notwendigen Proportion (s.o. Abschnitt 2.10, Liste 2, Listenpunkt 2) erlaubt eine effiziente Berechnung der im Ergebnis enthaltenen n-olen-Klammern durch entsprechende Vorbereitung des Metrikbaumes noch unabhängig von jeder konkreten Ereignisfolge:

Für jeden Knoten B des Metrikbaumes, der im Nenner seiner Dauernangabe den Faktor p^n mit n>0 als maximale Potenz von p aufweist, und p!=2, aber sein Elterknoten nur p^x mit 0<=x<n als maximale Potenz, sagen wir, dass B die Potenz "p^(n-x) zwingend (in den Nenner der Proportion) einführt."

Bei der älteren Verwendungsweise von CWN führen alle Kindknoten desselben Elterknotens stets dieselben Potenzen zwingend ein. Alle notierten Symbole im Dauernbereich des Elterknotens werden deshalb i.A. von einer einzigen entsprechenden n-olen-Klammer überspannt, wenn mindestens einer (>=1) der Kindknoten klanglich in Erscheinung tritt. 8

Bei neueren Verwendungsweise ist diese Gemeinsamkeit aber keinesfalls mehr zwingend, siehe das Beispiel im Vorgängerartikel, Abschnitt "Verselbständigte n-olen": --- der zweite Kindknoten der Baumwurzel (Dauer=Triolen-Halbe=1/3) führt den Faktor 3^1 zwingend in den Nenner ein, nicht jedoch der erste!

Die in metricSplit verwendete Datenstruktur vermerkt darum maximale Folgen von Geschwistern, welche dieselbe Proportion zwingend einführen. Man beachte, dass jeder Knoten nur maximal eine(1) Proportion einführen kann, also eine Erkennung von Teil-Überlappungen und Faktor-Zerlegungen (wie "1/3--1/3--1/15" oder gar "1/3--1/15--1/5") nicht stattfindet. Um ein Herausziehen gemeinsamer Faktoren zu erreichen, muss die Metrikbaum-Spezifikation schlicht die entsprechende Hierarchisierung explizit einführen, was der gemeinten metrischen Struktur ja wohl auch adäquater wäre.

Die so erkannten Folgen von Geschwisterknoten sind das Urbild der später im Vordergrund-Notat gesetzten n-olen-Klammern. Ist ein Baumknoten unter diesen ohne Haltebögen schreibbar, also mit nur *e*inem Dauernsymbol, so heißt er e-schreibbar.

Aus beschriebenem Vorgehen folgen wichtige Eingeschaften für die weitere Arbeit von metricSplit:

  1. Die Dauer von jedem Knoten des Metrikbaumes kann letztlich immer notiert werden, da sie ja unter der für den Nenner notwendigen n-olen-Klammern stehen wird.
  2. Ob ein Knoten e-schreibbar ist, hängt ausschließlich vom Zähler seiner Dauer ab.

^Inh 2.12 Phase Eins/IC: Finden der Initialen Überdeckung

Der erste Schritt des Algorithmus für eine gegebene Folge von takt-relativen Startzeitpunkten besteht nun in der Konstruktion der Initialen Überdeckung (= Initial Coverage = IC).

Diese ordnet jedem Intervall zwischen zwei benachbarten Zeitpunkten (auch "Ereignis" genannt) diejenige Menge aus dem Knotenbaum zu, welche das Intervall genau überdeckt und minimal ist.

Dies geschieht wie folgt:

  1. Setze den aktuellen Knoten auf die Wurzel des Metrikbaumes, den Suchzeitpunkt auf den zweiten Zeitpunkt der Eingabe (der erste ist der Beginn des Taktes und des ersten Ereignisses), und das Suchende auf das Taktende.
  2. Wenn der Endzeitpunkt des aktuellen Knotens früher liegt als der Suchzeitpunkt, dann liegt der Knoten zur Gänze in der überdeckung. Füge ihn zur Überdeckung des beim Suchzeitpunkt endenden Ereignisses hinzu und setze den aktuellen Knoten auf den im Metrikbaum zeitlich anschließenden höchstgelegenen Knoten (das nachfolgende Geschwister oder sonst, falls dies nicht vorhanden, das nachfolgende Geschwister des Elterknotens, sonst das des Großelterknotens, etc.)
  3. Wenn der Endzeitpunkt des aktuellen Knotens genau gleich ist dem Suchzeitpunkt, dann verfahre wie oben. Gehe zusätzlich zum nächsten Ereignis über: Wenn der Suchzeitpunkt bereits das Suchende ist, ist alles getan, sonst setze ihn auf den nächsten Zeitpunkt der Eingabe.
  4. Wenn der Endzeitpunkt des aktuellen Knotens später liegt als der Suchzeitpunkt, dann muss die Binnenstruktur dieses Knotens erforscht werden. Dies geschieht wie folgt:
    1. Wenn der aktuelle Knoten eine in der Metrikbaum-Spezifikation definierte Binnenstruktur hat, dann mache folgenden Schritt für alle definierten Alternativen:
    2. Setze den aktuellen Knoten der Reihe nach auf die Wurzel der Alternativen und das Suchende auf das Ende des aktuellen Knotens (der Suchzeitpunkt bleibt), und wende diesen Algorithmus ab Schritt 2 rekursiv an.
    3. Falls Stilparameter best_fit_not_first_fit=true, dann wähle aus den Ergebnissen des vorangehenden Schrittes das optimale. Sonst wähle das erste erfolgreiche, in der Reihenfolge der Benutzerdefinitionen in der Metrikbaum-Spezifikation.
    4. Wenn der aktuelle Knoten noch keine Binnenstruktur hat, und der Abstand Suchzeitpunkt minus Startzeitpunkt des Knotens ist eine Zweierpotenz, dann füge die (anfangs in Abschnitt 2.3, Listenpunkt 7 erwähnte) implizite Zweiteilung zum Knoten hinzu und verfahre weiter wie mit einer expliziten Binnenstruktur (also wie diese Liste, Listenpunkt ii).
    5. Wenn der aktuelle Knoten noch keine Binnenstruktur hat, außer einer impliziten Zweiteilung, und o.e. Abstand keine Zweierpotenz ist:
      • Falls keine automatische Erweiterung aktiviert ist, dann breche den Versuch erfolglos ab und liefere einen Fehlschlag zurück.
      • Sonst sammele alle Zeitpunkte der Eingabe auf, die in die Dauer des aktuellen Knotens fallen, und berechne daraus einen neuen Unterbaum, wie beschrieben in Abschnitt 2.13.
        Falls Stilparameter memo_synthesized_divisions=true, dann füge später diesen Unterbaum als neue Alternative dem aktuellen Knoten hinzu, aber nur, falls die hier vorbereitete Lösung sich unter best-fit/first-fit etc. letztlich durchsetzt. Dies realisiert fast von selbst das Qualitätskriterium der Inneren Konsistenz, s. Abschnitt 1.1.
        Allemal setze den aktuellen Knoten auf die Wurzel des neuen Baumes und das Suchende auf sein Ende (= das des aktuellen Knotens), und wende diesen Algorithmus ab Schritt 2 rekursiv an. (Der Suchzeitpunkt bleibt unverändert der erste konfligierende, also der erste der oben aufgesammelten.)

Im Falle von best_fit_not_first_fit=true ist die optimale Alternative diejenige, die am wenigsten zusätzlich synthetisierter Proportionen bedarf, dann (nachgeordnetes Kriterium) möglichst wenig Knoten beinhaltet und (schwächstes Kriterium) in der Benutzerdefinition früher steht.

Man beachte, dass die Synthese von notwendigen neuen Unterteilungen in Phase Zwei/Div erst an den Blättern des MTS beginnt, also erst unterhalb der kleinsten vom Benutzer explizit angegebenen Teilungsebenen. Bei einer MTS = 4/4(2*2) also erst ab der Viertelnote. Will man gröbere Zusammenfassungen, so kann man sie allemal explizit als Alternativen angeben, wie in 4/4(2*2|3).

Im folgenden Beispiel ist die IC gesucht für ein Ereignis, welches mit dem Startzeitpunkt von Knoten 12 beginnt und mit dem von 33 endet. Es ergibt sich als IC die Knotenmenge {12, 13, 22, 31, 32}, und zwar unabhängig von jeder internen Struktur von 22:

                       p
                   /   |   \
                21    22     23     
              / | \   /|\   / | \  
             /  |  \       /  |  \  
            11  12  13   31  32  33
                |                | 
                [---------------]|

In ein Vordergrund-Notat übersetzt ergäbe dieses fünf mit Haltebögen aufaddierte Notenwerte, die den vom Ereignis überdeckten Knoten des Metrikbaumes unmittelbar entsprechen.

Initiale Representation

Diese Darstellung ist zweifellos arithmetisch korrekt, aber nicht ergonomisch zweckmäßig im Sinne der Aufgabenstellung. Deshalb erfolgen als naheliegende nächster Schritt die in Abschnitt 2.15 beschriebenen Zusammenfassenden Transformationen dieser Knotenmenge, kontrolliert durch die Gestalt des Metrikbaumes,

^Inh 2.12.1 Exkurs: Typische Verwendung der Alternativen für die Festlegung der Scheibweisen von spontanen n-olen

Die wichtigste Rolle des Alternativ-Operators (in der eher historisch-konventionellen Verwendung von CWN) ist es, die von der normalen Teilung im Metrikbaum abweichenden, "spontanen" n-olen vorzubereiten und ihre Klammerung festzulegen, wie zu Beginn definiert als "Abweichungs-Problem" (s. Abschnitt 1.1, --- Diese Praxis ist geerbt von den Vorläufern der CWN, die in Form von "lokalen Proportionen" oder "Kolorierungen" solches in einigen "manirierten" Epochen exzessiv betrieben hatten.)
Immer dann ist zwecks adäquater Notation ein neues, lokales Metrum im Sinne Anfangs aufgestellter Definition nötig.

Generell gilt: Das Induktions-Problem (=vollständigen Synthetisierung eines Metrums) nur aus einer Folge von Dauernwerten ist nicht eindeutig lösbar.

Dies ergibt sich schon aus der einfachen Tatsache, dass ein Metrikbaum einen weitergehenden Informationsgehalt hat als eine schlichte Folge von Dauern, siehe z.B. die naheliegendsten der aus der Folge von reinen Dauernwerten
3/8 1/8 1/8 1/8
synthetisierbaren Metren:

Synthese-Unentscheidbarkeit

Die Alternative ist eine vollautomatische lokale Modifikation eines vorgegebenen Metrums, wie in der Phase Div von metricSplit ja durchaus realisiert. Aber auch diese Methode ist nicht ausreichend, aus folgender Überlegung:

Rein arithmetisch korrekt sind nämlich alle Dauern immer dann notierbar, wenn die im Nenner auftretenden Faktoren irgendwo in einer n-olen-Klammer über der Dauer auftreten. Man kann also brute-force das "Kgv" aller auftretenden Nenner als eine große n-olen-Klammer über den ganzen Takt setzen, und alles wird notierbar: für alle Dauern, die diesen Divisor nicht benötigen, kann dieser ja kompensiert werden kann, siehe Abschnitt 2.10, Liste 2, Listenpunkt 4. (Am einfachsten geht das noch mit Verlängerungspunkten für die Faktoren (2^n)-1, also 3, 7, 15, etc.)

Genauso aber können aber die zur Notation einer bestimmten Dauer notwendigen Faktoren in ihrem Nenner auf jeder beliebigen Teilungsebene gesetzt werden, mit demselben mathematischen Ergebnis. Soll z.B. das Schmiede-Motiv aus dem Ring in ein schlichtes 3*1/4-Metrum eingeschrieben werden, so müssen Triolen eingeführt werden, was laut obiger Ausführung auf den verschiedensten Ebenen möglich ist. Folgende Schreibweisen sind rein arithmetisch alle korrekt, aber offensichtlich nicht alle ergonomisch zweckmäßig:

Synthese-Unentscheidbarkeit

Welche von diesen Varianten überhaupt sinnvoll und angemessen sind, kann ein völlig eigenständig operierender Algorithmus nicht beurteilen. Wir sehen hier z.Zt. noch keine Chance für eine sinnvolle Heuristik. (Das einzige offensichtliche objektive Kriterium ist, dass Variante SM-84 einen Knoten mehr enthält, da dort eine schwere Zeit klanglich nicht erscheint.)

Dies zeigt deutlich, dass die möglichen alternativen Metren (in den meisten Fällen) explizit angegebbar sein müssen, um genau die dort auftretenden Effekte steuerbar zu machen.
Obige Ergebnisse werden dann durch die Alternativen in folgenden Metrikbäumen zwangsläufig hervorgebracht:
SM-48 von 3/4(3|6+3)
SM-84 von 3/4(3|3+6)
SM-888 von 3*(1/4|3) 9
SM-16 von 3*2*(1/8(2|3))

Dennoch aber kann "best fit" mit der oben genannten Bewertungsfunktion durchaus sinnvoll sein. Die Formel
(1/4|3)+((1/4|3)(1/4|3)|3) erlaubt sowohl überall Achtel-Triolen, aber auch eine Viertel-Triole auf den letzten beiden Zählzeiten. Die Dauernfolge
1/8 1/24 1/12 1/6 1/6 1/6
wird übersetzt in

Synthese-Unentscheidbarkeit

Da die Variante mit der Viertel-Triole in der Metrikbaum-Spezifikation hinter der mit den drei Achtel-Triolen steht (=geringere Priorität), würde ein first-fit-Verfahren die Zeile SM'888 auswählen. Das best-fit aber erkennt die geringere Knotenzahl von SM'84.

^Inh 2.13 Phase Zwei/Div: Synthese und Hinzufügung weiterer Teilungen

Das Finden einer IC beinhaltet, falls durch Stilparameter erlaubt, die Synthese neuer alternativer Unterbäume für sonst nicht darstellbare Faktoren im Nenner der Eingangszeitpunkte, siehe Abschnitt 2.12, Listenpunkt 4, Listenpunkt v, Listenpunkt 2.

Dies ermöglicht praktischerweise Kompositionsalgorithmen zu programmieren, die intern mit beliebigen Rationalen Zahlen rechnen und deren Ausgabe immer visualisierbar ist. Selbst wenn "krumme" Werte auf Rechenfehlern basieren und nicht intendiert sind, ist doch gerade dann eine derart vollständige Visualisierung ein wertvolles Werkzeug zur Programmentwicklung.

Hier nun beginnt ein Bereich, der im Sinne oben aufgestellter Unterscheidungen (siehe Abschnitt 1.2) nicht mehr systematisch sondern heuristisch gelöst wird: Es werden bestimmte Konstellationen von neuen Divisoren betrachtet, die in der Praxis häufig auftreten.
Unterhalb dieses Bereiches aber muss zwangsläufigerweise wieder ein "systematischer" folgen, um die Totalität des Algorithmus' zu gewährleisten, also die Fälle zu behandeln, die nicht zu den heuristisch behandelten gehören.

Grundlage der Berechung ist, wie dem Algorithmus Abschnitt 2.12, Listenpunkt 4, Listenpunkt v, Listenpunkt 2 zu entnehmen, immer ein "Blatt" der Metrikbaum-Spezifikation, also ein Knoten ohne explizite Kinder. Diese erhalten also hier eine weitere semantische Bedeutung, über die Aufspannung des unendlichen Metrikbaumes hinaus. Heiße dieser im folgenden "Blattknoten".

Es werden, wie oben bereits erwähnt, alle Zeitpunkte aufgesammelt, die in die Dauer des Blattknotens fallen. (Für den Rest des Textabschnittes kurz "gesammelte Zeitpunkte" genannt.) Die Anzahl dieser ist mindestens einer (>=1).
Aus den gesammelten Zeitpunkte werden die Notwendigen Proportionen synthetisiert, und die notwendigen neuen n-olen-Klammern letztlich der Dauer des Blattes eingeschrieben. Folglich liegen diese immer auf relativ kurzen Grundwerten, und fassen auch keine expliziten Knoten jemals zusammen: Ein als 4/4(4) spezifizierter Takt mit je einer Sechzehntel-Septole in zwei verschiedenen Vierteln wird über diese beiden je eine eigene Septolenklammer erhalten, auch bei adjazenten.

Es ist auch keineswegs angestrebt, ja vielleicht sogar unmöglich, dass die synthetisierten Notate in jedem Falle stets ästhetisch und ergonomisch befriedigend sind. Der Benutzer hat ja jederzeit die Möglichkeit, auf die Mehode der expliziten Alternativen zurückzugreifen, wie beschrieben in Abschnitt 2.12.1, und das Metrum als 4/4(4|7) oder als 2*2(1/2|7) zu definieren, resultierend in entsprechend weiter-gefasste Klammern im Notat. Es werden, wie erwähnt, auch keine n-olen oberhalb der Blätter des MTS generiert; sind solche gewünscht, so müssen auch sie explizit vorbereitet werden.

Das hier sämtliche in den Blattknoten fallenden Ereignisse gemeinsam berücksichtigt werden, bedeutet einen deutlichen Paradigmenwechsel: Der Algorithmus wird von einem lokalen (der immer nur einen(1) Zeitpunkt zu betrachten brauchte) zu einem kontext-sensitiven (vgl. Abschnitt 1.2).

Als erstes wird immer ein "neuer Knoten" erzeugt, der später, falls diese Variante sich im übergeordneten Suchvorgang sich letztlich durchsetzt, als neue Alternative hinten an die Alternativen des Blattknotens angehängt wird.

Gundlage der Berechung ist für jeden Zeitpunkt der "relative Zeitpunkt", der Abstand zum Beginn des Blattknotens, und der "fehlende Faktor", d.i. der Faktor im Nenner dieses relativen Abstandes, der mit den Proportionen im bisherigen Metrikbaum nicht darstellbar ist und die Synthese einer neuen Proportion erfordert.

Es bedeute "Generieren eines Baumes mit dem Faktor f unter dem Knoten k" das Hinzufügen von f äquidistanten Kindern zu k (nebst dem Hinzufügen der Proportion "1/k" in die Hilfs-Datenstruktur des Baumes, wie für den Originalbaum geschehen in Abschnitt 2.11).

Dann gibt es folgende Möglichkeiten:

  1. Alle Zeitpunkte haben denselben fehlenden Faktor f.
    Dann wird dieses f in eine Proportionen-Hierarchie zerlegt, wie unten beschrieben, und unter dem neuen Knoten die notwendigen Unterbäume generiert.
  2. Ansonsten: Die fehlenden Faktoren aller Zeitpunkte, die in die erste Hälfte des Intervalles des Blattknotens fallen, haben das kgV f1, die in der zweiten Hälfte des Blattknotens das kgV f2, und f1 und f2 sind teilerfremd.
    Dann wird der neue Knote äquidistant in zwei Teile geteilt, und jedem der neuen Kindknoten nach diesem Algorithmus hier rekursiv getrennt behandelt.
    Dies darf aber nicht geschehen, wenn der Blattknoten selber schon aus dieser Operation hervorgegangen ist und Stilparameter recursive_separation==false.
    (Beispiel Synt-8b unten zeigt, dass man jeden Rhythmus, in dem Primfaktoren beliebig dicht, aber nicht kombiniert auftreten, durch hinreichend langes Anwenden dieses Prinzips so zerlegen kann, dass die n-olen Klammern disjunkt werden.)
  3. Ansonsten: Es gibt genau zwei(2) verschiedene fehlende Faktoren a und b, und a ist Teiler von b.
    1. Falls b==9, und Stilparameter prefer_one_bracket_9_to_8==true, dann generiere unter dem neuen Knoten einen Baum mit Faktor 9.
    2. Falls b==15, und Stilparameter prefer_one_bracket_15_to_16==true, dann generiere unter dem neuen Knoten einen Baum mit Faktor 15.
    3. Ansonsten generiere unter dem neuen Knoten einen Baum mit Faktor a, und darunter b/a. Der gemeinsame Divisor für die Mehrheit wird also nach oben gestellt.
  4. Ansonsten gibt es zwei oder mehr (>=2) verschiedene fehlende Faktoren. Seien diese a und b, und c>2 ist gemeinsamer Teiler.
    Dann generiere unter dem neuen Knoten einen Baum mit Faktor c.
  5. Gebe es keinen gemeinsamen Teiler, aber erster und letzter kritischer Zeitpunkt haben beide denselben fehlenden Faktor a.
    Dann generiere unter dem neuen Knoten einen Baum mit Faktor a.
  6. ((Hier sollte eine weitere Abfrage eingeführt werden, ob ein Faktor als eine Mindesanzahl häufiger als alle anderen auftritt, und dann nach ganz oben gelegt werden.))
    [[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]
  7. Hier nun endet das heuristische Vorgehen, und das kgV aller Faktoren wird in eine Proportionen-Hierarchie zerlegt, wie unten beschrieben,

Das o.e. Zerlegen des Faktors f in eine Proportionen-Hierarchie wird von Stilparametern gesteuert: wenn f=15 und prefer_one_bracket_15_to_16, dann wird eine einzige(1) 15:16 Klammer generiert, statt zu zerlegen. Genauso für f=9 und prefer_one_bracket_9_to_8. Ansonsten wird für jeden Primfaktor von f eine eigene Klammer erzeugt, und bei finer_division_down_not_up==true der numerisch kleinste Divisor nach oben gelegt (also Triole über Quintolen über Septolen, etc.), sonst umgekehrt.

In jedem Falle wird nach der Modifikation des neuen Knotens in die Ausführung der Phase Eins/IC zurückgesprungen, mit genau denselben Werten, aber mit dem neuen Knoten als aktuellen Knoten.
Wenn durch die stattgehabte Knoteneinfügung noch nicht alle Divisoren realsiert worden sind, hat das zur Folge, dass erneut in diesen Algorithmus hineingelaufen wird, dann aber mit einfacheren Faktoren. Der rekursive Aufruf ist also "streng konsumptiv" und wird terminieren.

Die folgenden Beispiele beziehen sich alle auf die aller-einfachste Metrum-Spezifikatioin 1/1. Es sind im einzelnen, jeweils in tscore_Notation und/oder als Dauernfolge:

Synt-1:  Fall 1: Nur ein einziger Faktor (4/15 und 11/15)
                 finer_division_down_not_up = true 
   T        1                             2
   VOX M    "1/1"
   VOX sop  ckl   (- e -)  -  (- - a) -
   = [0, 4/15, 11/15, 1]

Synt-2:  dto, aber finer_division_down_not_up = false

Synt-3:  Fall 2: in beiden Dauern-Hälften disjunkte Faktoren
   T        1                                 2
   VOX sop  (ckl  d e) f  g a (h c d e f g a)
   = [0, 1/15, 2/15, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 29/35, 6/7, 31/35, 32/35, 33/35, 34/35, 1] 

Synt-4:  Fall 3: zwei Faktoren, einer enthält den anderen 
   T        1                             2
   VOX sop  ckl   (d e -)  -  (- - a) -
   = [0, 1/5, 4/15, 11/15, 1]


Synt-5:  dto
   T        1                             2
   VOX sop  ckl   (d e -)    (- - a) 
   = [0, 1/3, 4/9, 8/9, 1] 

Synt-6:  Fall 4: Drei Faktoren, ein gemeinsamer
   T        1                                       2
   VOX sop  ckl   (d e -)  g  (- - a - - - - ) -
   = [0, 1/5, 4/15, 23/35, 1]

Synt-7:  Fall 5: An den extremen Rändern nur ein bestimmter Faktor:
   T        1                                       2
   VOX sop  (ckl d e) (f g a h c)(d e f g a) (h c d)
   = [0, 1/12, 1/6, 1/4, 3/10, 7/20, 2/5, 9/20, 1/2, 11/20, 3/5, 13/20, 7/10, 
      3/4, 5/6, 11/12, 1]

Synt-7b:  dito, aber ein Metrum zu "1/1(4)" 

Synt-8:
   T        1                                       2
   VOX sop  (ckl)  -  -  -  - (d e -  - - - -)
   = [0, 5/6, 6/7, 1]

Synt-8b:  dito, aber mit "Parameters_automatedMode.recursive_separation==true"

Synthetisierte Teilungen

Beispiel Synth-7 zeigt, dass diese Heuristik noch nicht alle Fälle löst. Hier wäre "spekulatives wiederholtes Zweiteilen" besser, oder eine Weiterentwicklung der spektralen Analyse. Für viele Fälle aber reichen die momentanen Ergebnisse in der Praxis aber schon aus, wie ja Beispiel Synth-7b zeigt.

^Inh 2.14 Phase Zwei-B/Approx: Approximierung von höherzahligen Nennern

[[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]

Diese Phase dient als Alternative zu Phase Zwei/Div. In ihr werden höherzahlige und im Metrikbaum nicht vorhandene Teilungen nicht verbatim eingeführt, sondern ein fester Teilungsdivisor so lange angewendet, bis die entstehenden Teilungspunkte hinreichend nahe an dem exakten Wert sind, um als Approximation zurückgeliefert zu werden.
Dieses Vorgehen entspricht dem, was digitale Sequencer im Verborgenen ausführen müssen, hier aber auf die Ebene der bewußten Notation gehoben.

Die steuernden Stilparamater sind zusammengefasst in Parameters_approximationMode . Es sind

  1. Rational distance_lower = der Abstand, den ein Eingabewert höchstens unter einem Annährungswert liegen darf, um auf diesen abgebildet zu werden.
  2. Rational distance_upper = der Abstand, den ein Eingabewert höchstens über einem Annährungswert liegen darf, um auf diesen abgebildet zu werden.
  3. int divisor = der Divisor zur Erzeugung der neuen Approximationen, ist normalerweise auf zwei(2) gesetzt.
  4. boolean allow_coincidence = ob zwei Eingabewerte auf denselben Annährungswert abgebildet werden dürfen. Falls nicht, wird die Division so weit wie nötig fortgesetzt auch wenn die Mindestabstände erfüllt sind.

Man beachte, dass das unscheinbare allow_coincidence einen Paradigmenwechsel verursacht, zwischen lokal und kontext-sensitiv, im Sinne oben definierter Eigenschaften, siehe Abschnitt 1.2.

^Inh 2.15 Phase Drei/Merge: Mustergesteuerte Zusammenfassende Transformation (Merging Transformations)

^Inh 2.15.1 Grundsätze

Zu Beginn der Phase Drei/Merge ist die Folge der Einsatzzeitpunkte übersetzt in die Initiale Überdeckung, eine Folge von Knotenmengen. Der Startpunkt jeweils des ersten dieser Mengen (in Baumordnung) entspricht dem Einsatzzeitpunkt, die Knoten überdecken das Ereignis, und ihre Anzahl ist minimal.

Hier zeigt sich deutlich die wichtige Eigenschaft der Kompositionalität, vgl. Abschnitt 1.2: Alle Unterbäume werden im folgenden gleich behandelt, egal ob sie aus dem Eingabedatum Metrikbaum-Spezifikation hervorgegangen sind, oder aus der Automatischen Ergänzung in Phase Zwei/Div.

Die Knotenmenge kann jetzt schon direkt in eine Vordergrund-Notation übersetzt werden, indem die Dauern der Knoten notiert werden (diese sind immer schreibbar, wenn auch nicht unbedingt e-schreibbar), wobei alle die zum selben Ereignis/Startzeitpunkt gehören durch Haltebögen verbunden werden, siehe das Beispiel am Ende von Abschnitt 2.12.

Diese Schreibweise ist aber ergonomisch nicht optimal. Es werden deshalb in Phase Drei/Merge mustergesteuerte Zusammenfassende Transformationen (Merging Transformations) angewandt.
Diese sollen in der sich ergebenden Vordergrund-Notation mehrere Knoten der Initialen Überdeckung statt durch eine Folge von mehreren(>1) mit Haltebögen verbundenen Dauernsymbolen durch nur ein(1) einziges Notenzeichen darstellen. Die verschiedenen aus ihnen resultierenden Gestalten (im Mittelgrund des Metrikbaumes und im Vordergrund des resultierenden Notates) heißen Synkopen, Hemiolen, Punktierungen und zusammengefasste Geschwister.

Diese entlasten nicht nur das Notenbild durch die geringere Anzahl benötigter Symbole, sondern stehen (in fast allen Anwendungsfällen) auch für historisch definierte, feststehende Muster, die dem Interpreten auf einen Blick wichtige Hinweise auf die intendierte rhythmische Gestalt, Agogik, Ausdruck, etc. geben können. Nicht jede beliebige Zusammenfassung ist also anzuwenden, sondern nur solche, die im Sinne der Ergonomischen Zweckmäßigkeit die Metrik-Struktur des Taktes verdeutlichen.

Die Transformationen zerfallen in zwei Arten:

Geschlossene Muster stellen Minimal- und Maximal-Bedingungen für die Begrenzungspunkte des Ereignisses auf, und auf die Ersatz-Note kann an keine weitere angebunden werden.

Offene Muster stellen nur Minimal-Bedingungen für die Begrenzungspunkte des Ereignisses auf, und an beide Seiten der Ersatz-Note können durchaus weitere Noten angebunden werden.

Die einzelnen Transformationen werden in den folgenden Abschnitten detailliert diskutiert und an Beispielen vorgestellt. Zunächst, in aller Kürze, ergeben sich die Transformationen durch bestimmte "Verwandschaftsverhältnisse" der Knoten im Metrikbaum, und ggfls. zusätzlicher einfacher Bedingungen über deren Teilung und Dauern:

  1. Verschmelzung von Geschwistern.
    Mehrere aufeinander folgende gleichlange Kinder desselben Elterknotens werden möglichst durch ein(1) Dauernsymbol dargestellt.
  2. Verschmelzung von Cousinen: Synkopen und Hemiolen
    Mehrere aufeinanderfolgende Kinder von zwei(2) verschiedenen aufeinanderfolgenden und gleichartigen Elterknoten werden möglichst durch ein(1) Dauernsymbol dargestellt.
  3. Verschmelzung mit Tanten und Neffen: Punktierungen
    Ein Knoten gefolgt vom "halben Knoten" seines folgenden Geschwisters, und eventuell noch vom "halben Knoten" von dessen Nachfolger, etc. wird zu einer "positiven Punktierung". Ein derartiger "halber Knoten" gefolgt von einem ganzen, etc. zu einer "negativen Punktierung".

Grundsätzlich wird bei jedem Testschritt auch geprüft, ob die Grenze einer bereits in den Baum eingetragenen notwendigen n-olen-Klammer durch die Zusammenfassung überschritten wird. Dies ist nur erlaubt wenn der Stilparameter merge_may_cross_bracket_limit==true. (Lilypond z.B. kann eine "in der Luft hängende" n-olen Klammer nicht sinnvoll darstellen, also eine, die "in der Mitte" der Ersatznote einer Synkope etc. beginnt.)

Technisch werden die Transformationen einfach dadurch realisiert, dass die Untermenge der Knoten aus der Initialen Überdeckung konstruiert wird, die am Ende tatsächlich notationell in Erscheinung treten sollen. Diesen wird bei der letztlichen Ausgabe die Summe der Dauern aller nicht-erscheinenden Nachfolgeknoten, bis zum nächsten erscheinenden, zugeschlagen.

^Inh 2.15.2 Anwendbarkeit der Muster und E-Schreibbarkeit von Knoten

Allerdings ist die Anwendbarkeit der Zusammenfassenden Transformationen nicht nur von der abstrakten Form des Baumes abhängig, sondern auch von der konkreten Schreibbarkeit der beteiligten Dauern. Die Anwendung einer Zusammenfassung soll ja eine Vereinfachung des Notenbildes erreichen. Nun kann es aber sein, dass sich als zu notierende Gesamtdauer der zusammengefassten Knoten eine solche ergibt, die nicht e-schreibbar ist.
(E-schreibbar sind an dieser Stelle alle Dauern, deren Zähler die Form (2^n)-1 hat, s.o. Abschnitt 2.11, Listenpunkt b.)
Diese Gesamtdauer müsste also ganz am Ende des metricSplit-Algorithmus zu Zwecke der Visualisierung wieder zerlegt werden. Es würde also nur die eine zusammengesetzte Schreibweise (die der Initialen Überdeckung) durch eine andere zusammengesetzte ersetzt, die vielleicht sogar von der Struktur des Metrikbaumes weiter entfernt ist. Dies wäre der Ergonomischen Zweckmäßigkeit ab- statt zuträglich.

Allerdings kann das Problem der Schreibbarkeit bereits bei der Initialen Überdeckung selbst auftreten, ganz ohne Anwendung einer Transformation: da es keinerlei Einschränkungen über die Dauern der Knoten einer Metrikbaum-Spezifikation gibt, bis auf die der inneren Konsistenz, ist eine solche nicht immer e-schreibbar. Es gibt auch seltene gegenteilige Fälle, in der eine Knotenfolge durch eine Transformation erst e-schreibbar wird (3 mal 5/16-Knoten, s.u. Abschnitt 5.2)

Die folgenden Regeln für die Zusammenfassenden Transformationen beziehen sich also zunächst auf die "abstrakte" Gestalt des Graphen, wie er durch die Knoten einer Initialen Überdeckung herausgeschnitten wird, danna ber auch auf die "konkreten" Dauern, um die Transformationen zu modifizieren oder gar ganz zu unterlassen.

Entsprechend der Aufgabenstellung beziehen sich in den folgenden Unterabschnitten alle Aussagen über "Knoten" und "Knotenmengen" immer nur auf zum selben Ereignis gehörige Knoten.

^Inh 2.15.3 Verschmelzung von Geschwistern

Es können aufeinanderfolgende Kindknoten desselben Elterknotens evtl. zusammengefasst werden. Dies nennen wir "Verschmelzung von Geschwistern". Sie ist möglich innerhalb von Teilungen durch drei(3) bis fünf(5), sowie in allen Chopinesquen, also auch höherzahligen.
(Die Teilungen durch vier(4) werden wegen ihrer speziellen Probleme weiter unten nochmals genauer betrachtet, Abschnitt 2.15.7. In Teilungen durch zwei(2) können die Geschwister nicht verschmelzen, denn wenn beide überdeckt sind, ist es ja auch der gesamte Elterknoten, und die Kinder treten in der Initialen Überdeckung garnicht erst auf !-)

Notwendige Bedingungen sind (a) dass die zusammenzufassenden Geschwisterknoten gleiche Dauer haben, und (b) die resultierende Dauer e-schreibbar ist. Nicht notwendig ist, dass die innere Struktur der zu vereinigenden Knoten identisch ist, da diese eh nicht in Erscheinung tritt (weder notationell noch klanglich, siehe folgendes Beispiel, Zeile G1&G2, Takt 4)

Ist die Dauer der Einzelknoten e-schreibbar, genau dann sind es auch die Zusammenfassung von zweien(2) oder vieren(4). Bei Unterknoten einer Drei(3)teilung wird durch die Geschwister-Verschmelzung nie eine Veränderung des Problems der E-Schreibbarkeit eingeführt.
Anders bei drei(3) Geschwistern (möglich ab der Vier(4)teilung): diese können u.U. nicht vollständig ersetzt werden, siehe Zeilen G3&G4: Die Einzelknoten sind e-schreibbar (Zähler=3), der zusammengefasste nicht (Zähler=9).

Geschwister möglich

Man sieht dass dieses Muster für klingende Ereignisse wie für Pausen gleichermaßen anwendbar ist. Die Anzahl der erlaubten Verlängerunspunkte wird für klingende Ereignisse begrenzt durch den Stilparameter max_dots_positive, für Pausen durch diesen, und zusätzlich durch Stilparameter max_dots_for_pauses. Werden zuviele Punkte benötigt, dann wird die Transformation nicht angewendet.

Sollen drei(3) oder fünf(4) Geschwister verschmolzen werden, aber nur die Kindknoten sind e-schreibbar, nicht das Ergebnis, dann werden alle bis auf den letzten verschmolzen und dieser angebunden.

Dieses Muster ist ein offenes, es können nach dem letzten Geschwister im selben Takt noch kürzere "Nichten" angebunden werden, oder Geschwister anderer Dauer, auch evtl. zusammengefasst, oder im nächsten Takt Beliebiges (Zeile 5b). Gleiches gilt für vorne angebundenen Dauernwerte (Zeile 5b, letzter Takt).
Mögliches Argument gegen seine ungehemmte Anwendung kann sein, dass dadurch eine spätere Anwendung des Punktierungs-Musters verunmöglicht wird, die aber besser wäre im Sinne der Ergonomischen Zweckmäßigkeit (Zeilen 5c und 5d). Dies wird weiter unten diskutiert, siehe Abschnitt 2.16.

Geschwister vs Punktierung

Die entsprechenden Bäume und Überdeckungen sehen ungefähr aus wie ...

               p
             //|\ \
           / / | \  \
         /  /  |   \  \
        [=========]   / \
oder       [========]-]  |
oder    [===========]-]  |
oder       [==============]-----] ....

Dabei steht === für die Geschwister, und --- für Angebundenes. Man beachte dass Zeile 5d von metricSplit nur dann erzeugt wird, wenn die Metrik als (2*2/4)+1/4 o.ae. definiert ist: mehrfache Synkopen überwinden nur Zwei(2)-Teilungen.

^Inh 2.15.4 Verschmelzung mit Cousinen: Synkopen und Hemiolen

Synkopen sind nur möglich bei den Teilungen durch zwei(2) bis fünf(5). 10 Sei E der Elterknoten des ersten Knotens, der zu dem Ereignis e gehört. Beginnt e später als E, hat aber dieselbe Dauer d wie E, dann wird eine Synkope konstruiert und eine einzige Note der Dauer d geschrieben. Dies setzt voraus, dass (a) es sich um ein klingendes Ereignis handelt, nicht um eine Pause 11 , und (b) dass Dauer d e-schreibbar ist.

Synkopen sind also ein geschlossenes Muster: ist das darzustellende Ereignis länger, würden also (vorne oder hinten) noch weitere Notenwerte angebunden, wird die Synkope nicht angewandt. Ihre wichtigste Funktion im Dienste der Ergonomischen Zweckmäßigkeit ist es nämlich, anzuzeigen, dass das Folge-Ereignis am selben Unterteilungs-Punkt beginnt wie dieses hier, also mit "demselben feeling relativ zum Beat" zu positionieren ist, was dann ja nicht mehr der Fall ist.

Darüber hinaus findet eine Synkopen-Notation nur statt, wenn (c) Elterknoten und Nachfolger auf ihrer obersten Gliederungsebene gleichartig geteilt werden. In einem 2*1/4 + 3*1/4-Metrum würde folglich keine Halbe-Synkope auf Zählzeit zwei gesetzt werden. Das wäre rein mathematisch zwar möglich, würde aber das Metrum und den Metrum-Wechsel durchaus verunklaren statt verdeutlichen, und stünde also im Gegensatz zur Ergonomischen Zweckmäßigkeit.

Im Falle des "Bruckner-Rhythmus" als Metrum, also im Falle von 2*1/4 + 3*1/6, wäre eine solche sogar mathematisch fragwürdig: Eine gleichsam "gefleckte" Halbe, die aus einer Viertel und einer Triolen-Viertel zusammengesetzt wäre!

Zusätzlich (d) müssen Synkopen durch Stilparameter eingeschaltet werden:
Sind die Elterknoten zwei(2)geteilt, so muss max_level_syncope_2>=1 gelten.
Sind die Elterknoten drei(2)geteilt, so werden die auf Zählzeit "Zwei" beginnenden Synkopen mit syncope_2_3==true erlaubt, die auf "Drei" beginnenden Synkopen mit syncope_3_3==true.

Selbst bei einer fünfer(5)-Teilung kann eine Synkope angewandt werden, wenn die Zähler der Kindknoten Kinder nur durch 3 (und 2^n) teilbar ist, s.u. Abschnitt 5.2. Diese werden mit Stilparameter syncope_longer_4==true eingeschaltet.

Es werden für jede der erwähnten Situationen ein je eigener Stilparameter definiert, da sie durchaus verschiedenen Notationsstilen angehören und sehr unterschiedliche Konsequenzen haben können.

Bei einer Dreier(3)-Teilung können Synkopen, wie definiert, aus systematischer Sicht durchaus auftreten, sind aber konventionellerweise recht ungewöhnlich. Viel häufiger wird ein Ereignis beginnend auf der dritten Position des ersten Elternknotens und endend auf der zweiten Position des zweiten durch eine einzige Note dargestellt. Dies ist eine Hemiole, wie die Synkope ein geschlossenes Muster, und wird durch Stilparameter hemiola==true erlaubt.

Die benötigte E-Schreibbarkeit der Dauer d des Elternknotens ist (wegen dem Faktor zwei(2)) bei Zweier-Synkope und Hemiole identisch mit der der Kindknoten. Beim Faktor drei(3) der Dreier-Synkopen besteht, wie oben ausgeführt, keine so einfache Beziehung.

Die beteiligten Bäume sehen aus wie ...

                   pp                       pp          
                  /   \ 	           /   \        
                /       \	          /     \      
               p         p2	         p       p2    
             / | \      / | \	        / \     /  \  
            /  |   \   /  |   \	       /   \   /    \
Hemiole             [----]|     |                    |
Synkope        [---------]|     |          [--------]|
oder                [----------]|                    |

Synkopen werden i.A. nicht von der Teilung des Großelter-Knotens bedingt, und können mehrfach hintereinander angewandt werden:

                                    pp            
                  /          /      |        \
                /          /        |          \
               p         p2	    p2           p4
             / | \      / | \	   / | \        / | \ 
            /  |   \   /  |   \	  /  |   \     /  |  \ 

               [--------] [--------] [----------]

Wenn dies wegen u.U. zu schlechter Lesbarkeit nicht erfolgen soll, muss einfach in der Metrikbaum-Spezifikation eine weitere hierarchische Ebene eingezogen werden (s.a. Abschnitt 2.15.7):

Mehrfache Dreier-Synkope

Die Geschlossenheit des Synkopenmusters ist es auch, die einfachere Ansätze zur Lösung des Problems verunmöglicht, wie z.B. für jede metrische Position im Takt einfach eine "Menge von erlaubten Dauern" anzugeben, von denen dann der längste ausgewählt wird. Synkopen werden eben nur gewählt, wenn nichts an sie angebunden wird! Zeile "Nein" im folgenden ist zu ersetzen durch "ja":

Synkopen sind geschlossen

^Inh 2.15.5 Mehrfache Synkopen

Die soeben vorgestellten Zweier-Synkopen spannen von der Mitte des Intervalles des einen Elterknotens bis zur Mitte seines Nachfolgers, im selben Großelterknoten.

Es können aber auch Synkopenschreibweisen zweckmäßig sein, wo die beiden geteilten Knoten zwar im Vordergrund unmittelbar aufeinanderfolgen, -- das ist immer Voraussetzung --, aber im Mittelgrund durch mehr als eine Ebene getrennt sind. Diese nennen wir kurz "mehrfache Synkopen".

Man sehe das Extrembeispiel T.137f. aus Bruckners Dritter Sinfonie, Adagio, aus dem Vorgängerartikel, und die schrittweise Eliminierung dieser extremen Synkopen, geordnet nach Ebenen:

Bruckner acht Synkopen

Der Stilparameter max_level_syncope_2 ist die Nummer der Generation, in der spätestens direkte Geschwister sein müssen. (Beim Wert null(0) sind alle Zweier-Synkopen verboten.) Wird der in diesem Beispiel aof zwei(2) begrenzt, ergibt sich Schreibweise P2, die gut lesbar scheint.

Dieselbe Regel führt auch für synkopierte Einzelnoten zu gerade noch brauchbaren Ergebnissen (Zeile P2e). Das ist deshalb wichtig, weil der Algorithmus damit auch kontext-frei gut arbeitet, was eine sehr günstige Eigenschaft ist, siehe oben Abschnitt 1.2 und die Diskussion im Vorgängerartikel.
Hingegen ist der erste Takt von P1e mit den drei(3) überspannten Ebenen kaum akzeptabel. Der dazugehörige Baum heißt ...

                                            überspannte Ebenen:
                    pppp               Ganze    
                  /      \
               /            \
           ppp                ppp      Halbe     DREI 
           /\                 /  \ 	     
         /   \               /	    
              pp           pp	       Viertel   ZWEI
             /   \        /   \	   
            /     \      /      \	   
                   p     p             Achtel    EINE
                  / \   / \
                    [----]     <-- Achtel-Synkope

^Inh 2.15.6 Verschmelzung mit Tanten und Neffen: Punktierungen

Punktierungen (als Sinne der Zusammenfassenden Transformation) sind nur möglich, solange die Elterknoten in aufsteigender Linie ausschließlich äquidistante Zwei-Teilungen aufweisen. Ganz oben kann evtl. eine andersartige Teilung stehen, bei der die beiden beteiligten Kind-Knoten aber ebenfalls gleichlang sind.

Die Bäume sehen aus wie ...

negative Punktierung:
                          pppp
                  / ...  /   \  ...   \  ... \   
                /       ppp   xxx      \
              /        /  \    \        \
            /         pp  xx    \        \
                     / \    \    \	  |
                    p   x    \    \	  |
                   / \   \    \    \	  |
                     a
                     [-------]      |     |
                     [-------------]|     |
                     [-------------------]|
                     (. . . . . . . . . . . . .) <--GESCHW???        
                                    [----------] 

positive Punktierung:
                              pppp
                  / ...     /         \  ...   \  ...  
                /        ppp           yyy       \
              /        /      \         /\
            /         pp       yy      /  \
                     / \      / \     /    \	 
                    k    y   /   \   /      \	
                        / \ /     \         |
                  [------]        |         |
                  [--------------]|         |
                  [------------------------]|
            (. . . . . . . . . . . . . . . ) <--GESCHW???         
            [----------------------]

Die "x/xx" sind dabei die Tanten/Großtanten mit denen der Ausgangsknoten "a" verschmolzen wird. Diese müssen dieselbe Länge haben wie die die Eltern/Großeltern "p/pp", also ihre jeweiligen Geschwister, und können intern beliebig geteilt sein. Die beteiligten p/pp/... müssen hingegen immer äquidistant zweigeteilt sein.

Die "y/yy" sind die Tanten und Großtanten, mit derem erstem Kind der Startknoten "k" (oder der entsprechende Vorfahre) verschmolzen wird. Auch hier müssen die Beteiligten derselben Ebene gleichlang sein. Das jeweilige "y.." muss äquidistant zweigeteilt sein.

(Die mit "<--GESCHW??" markierten Zeilen zeigen je eine Dauer, für die es einen Konflikt zur Zusammenfassung von Geschwistern gibt, wie diskutiert unten in Abschnitt 2.16.)

Wird bis zu einer bestimmten Ebene "e" zusammenfasst, so wird die Dauer des dort herrschenden pp-Knotens notiert, und soviele Punkte angehängt wie "e" Ebenen über dem Ausgangsknoten liegt. Ein solcher "Dauern-Punkt" oder "Wert-Punkt" verlängert ja jene Dauer um die Hälfte, oder um die Hälfte der vorigen Verlängerung, s.o. Abschnitt 2.8, und realisiert so genau die benötigte Dauer.

Die Stilparameter max_dots_positive und max_dots_negative begrenzen die Anzahl der Punkte für negative und positive Punktierung. Für Pausen gilt zusätzlich max_dots_for_pauses.

Wird dieser überschritten, so werden statt einem halt mehrere Knoten in die Menge der erscheinenden übernommen, was entsprechend mehreren Dauernsymbolen im letztlichen Vordergrund entspricht. Der Stilparameter push_dots_down_not_up entscheidet, wie dabei die Verlängerungspunkte gruppiert werden: Falls ==true so wird zunächst für den kürzesten Knoten die maximale Anzahl von Punkten verwendet, und so weiter aufsteigend. Andernfalls für den längsten, absteigend.

Punktierungs-Limits
  1. P1 entsteht bei max_dots_positive >= 4
  2. P2 entsteht bei max_dots_positive ==3 und push_dots_down_not_up==true
  3. P3 entsteht bei max_dots_positive ==3 und push_dots_down_not_up==false
  4. P4 entsteht bei max_dots_positive ==2 und push_dots_down_not_up==true
  5. P5 entsteht bei max_dots_positive ==2 und push_dots_down_not_up==false

^Inh 2.15.7 Exkurs: Die nette, aber problematische Teilung durch vier(4)

Als "nett" (wie definiert oben in Abschnitt 2.3) können wir auch die Teilung durch vier(4) bezeichnen, da sie keine speziellen Probleme bei der Übertragung in die Vordergrundgestalt aufwirft.

Allerdings ergeben sich deutliche Unterschiede zwischen einer Teilung durch vier(4) und einer durch zwei-mal-zwei(2*2), wenn die voranstehend spezifizierten, schön einfachen Algorithmen angewandt werden. Dies zeigt sich in folgender Tabelle:

Nr. zwei mal zwei (2*2) vier(4)
A Synkope im Vierer-Metrum erzeugt als Synkope erzeugt als Geschwister-Verschmelzung
B Punktierung im Vierer-Metrum erzeugt als Punktierung erzeugt als Geschwister-Verschmelzung
C Doppelte Punktierung im Vierer-Metrum erzeugt als Punktierung NICHT ERZEUGT (nach obigem Algorithmus)
D Synkopische Punktierung im Vierer-Metrum NICHT ERZEUGT (nach obigem Algorithmus) erzeugt als Punktierung
E Synkope und Anbindung NICHT ERZEUGT (Synkopenmuster ist geschlossen) erzeugt (Geschwister-Verschmelzung ist offen)
F mehrfache Synkope NUR als mehrfache Synkope erzeugt IMMER erzeugt (alles EINFACHE Synkopen)

Man sieht sofort, dass in Verbindung mit den bisherigen Algorithmusdefinitionen beide Schreibweisen ihre Vor- und Nachteile haben:

Zeile C will man unbedingt haben, aber der einfache Algorithmus von oben fasst immer nur zwei zweigeteilte Elterknoten zusammen, hier wären im Falle der vier(4)-Teilung hingegen drei-einhalb Elterknoten zusammenzufassen.

Die synkopierte Punktierung in Zeile D will man eventuell haben, - in vielen Stilen ist diese sehr sinnvoll, siehe auch den folgenden Abschnitt.

Die Überbindung an die Synkope in Zeile E will man bestimmt nicht haben, das Synkopen-Muster ist nicht ohne Grund ein geschlossenes, weil es sonst mehr verwirrt als klärt (siehe Diskussion oben Abschnitt 2.15.4).

Die mehrfache Synkope (Viertel X in Zeile F) sollte auch nicht ungefragt generiert werden, sondern, wie oben ausgeführt, parametrisierbar ein- und ausschaltbar sein.

Zusammenfassend scheint die Modellierung als zwei(2)-mal-zwei(2) die bessere, denn hier ist lediglich die Zeile D als expliziter Sonderfall zu codieren, siehe Abschnitt 2.17.

^Inh 2.16 Konflikte bei der Transformation

Wenn versucht wird, die soweit beschriebenen Zusammenfassenden Transformationen auf eine Initiale Repräsentation anzuwenden, können mehrere sich zwanglos kombinieren, in dem sie auf verschiedene Unter-Intervalle desselben Ereignisses angewandt werden.
Es kann aber, ganz im Gegenteil, bei den ersten Schritten des Anwendungsversuches schon Konflikte geben, wenn für verschiedene Transformationen die Anwendungsbedingungen erfüllt sind und sie in Konkurrenz treten.
Beide Arten von Fällen zu klären dienen folgende Abschnitte.

^Inh 2.16.1 Konflikt Geschwister vs. Cousinen

Bei Zweier-Synkopen und Hemiolen ist nur ein Kindknoten je Elter überhaupt in der Initialen Überdeckung. Also konkurrieren nur die Dreier-Synkopen mit der Geschwister-Verschmelzung. Da aber die Synkopen ein geschlossenes Muster sind, bekommen sie einfach Priorität. Werden sie angewendet, so implizieren sie ja für die beiden Kind-Knoten, die auf derselben Seite des übersynkopierten Teilungsschlages liegen, deren Geschwister-Verschmelzung!

^Inh 2.16.2 Konflikt Geschwister vs. Punktierung

Hier kann ein Konflikt nur auf der obersten Ebene der Punktierung liegen, da nur dort durch mehr als zwei(2) geteilt werden kann und folglich nur dort Geschwister überhaupt verschmelzen können. Die Markierungen "<-GESCHW??" in voranstehenden Baumdiagrammen in Abschnitt 2.15.6 deuten das an, und die obigen Notenbeispiele Zeilen 5a bis 5d zeigen die Vordergrundgestalt des Problems: Mit der positiven Punktierung konkurrieren vorangehende gleich-lange Geschwister um den Knoten ppp; bei negativer Punktierung die nachfolgenden.

Beides kann auch kombiniert auftreten:

Geschwister vs Punktierung

Derartige Konflikte treten, wie gesagt, da auf, wo eine größer-als-zwei-Teilung (>2) äquidistante Zweiteilungen beinhaltet. Also relativ häufig auf der obersten Ebene im verbreiteten 3/4- und 6/8-Takt.

Zur Zeit ist die Implementierung derart, dass positive Punktierung Vorrang vor negativer und vor Geschwisterverschmelzung hat, und negative Punktierung vor Geschwisterverschmelzung. (Dies ist ein typischer Punkt an welchen evtl. weitere Stilparameter einzufügen wären, wenn Forschung an Corpora dies nahelegt, s.a. unten Abschnitt 3.2, Listenpunkt 1.)
Der Algorithmus kann für die Priorität zwei Flags vorsehen, für die positive und die negative Punktierung vs. Geschwister. Soll eine weitergehende Differenzierung des Punktierungsverhaltens im Fünfer-Fall vorgenommen werden, so kann die fünf ja ersetzt werden durch "3+2" oder "2+3". Damit sind sofort Geschwisterverschmelzung und Punktierung entsprechend dem gemeinten Metrum eingeschränkt!

^Inh 2.16.3 Konflikt Positive vs. negative Punktierung

Es können positive und negative Punktierungen untereinander konkurrieren, wenn mehr als zwei Geschwister jeweils zweigeteilt sind, also in Dreier- und Fünferfolgen (oder Vierer, falls als solche erlaubt, s. Abschnitt 2.15.7):

Punktierungen vs Punktierung

Zur Zeit gewinnt die Positive Punktierung, aber vielleicht wird ein Stilparameter nötig werden (s.u. Abschnitt 3.2, Listenpunkt 1).

^Inh 2.17 Kombinationen von Transformationen: Zweier-Synkope und Hemiole vs. Punktierung

In bestimmten Grenzen scheint ein Notationsstil sinnvoll, der Zweier-Synkopen und Hemiolen mit (gleichsam "nachträglicher") Punktierung kombinieren kann:

Synkopische / hemiolische Punktierung

Zeile SP1 ist allemal gut lesbar. Wird aber der Inhalt der Punktierungs-Ergänzung zu komplex (SP2), scheint irgendwann die Variante mit explizitem Haltebogen besser lesbar (SP3).

Im letzten Takt allerdings, dem Beispiel in 6/8, ist SP2 gegenüber SP3 zu bevorzugen. Die Bebalkung schafft doch eine grundlegend andere Ausgangsvoraussetzung der Lesbarkeit.

All diese Situationen sind besonders nur deshalb, weil die Teilungen "4" als "2*2" und "6" als "3*2" realisiert sind. Deshalb kann der oben beschriebene einfache Algorithmus zur Punktierungserkennung nicht "unmittelbar" greifen. Durch eine zeitweilige Linearisierung der obersten beiden Teilungsebenen in eine einzige würde die geschilderten Punktierungen auf gleiche Weise wie nicht-verschobene erkannt werden.
[[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]
Die entsprechenden Bäume sind ...

 Synkope und Punktierung:
                ppp(4/4 = 2*2)        
                /   \         würde erkannt werden bei:
               /     \
             pp        pp                         pp(4/4 = 4*1)
            / \        / \                  /    /  \     \
           /   \      p   \                /    /    p     \
          /     \    /  \                 /    /    / \     \
                [------]|                     [-------] 

 Hemiole und Punktierung:

                ppp(6/4 = 2*3)        
                /   \         würde erkannt werden bei:
               /     \
            pp          pp                       pp(6/4 = 6*1)
          / | \        / | \              /  /   /  \   \  \
         /  |  \      p  |  \            /  /   /    p   \  \
        /   |   \    /  \               /  /   /    / \   \  \
                [------]|                     [-------]|

^Inh 2.18 Phase Vier/BrSel: Auswahl der notwendigen n-olen-Klammern

[[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]

Wegen der sehr freizügigen Regeln für die Gestalt des Metrikbaumes kann es durchaus sein, dass, hinausgehend über die konventionelle Verwendung, eine für den Elterknoten Notwendige Proportion bei einem Kindknoten wieder verschwindet. Dies ist möglich, da Faktoren im Nenner bei reiner Addition ja überleben, und die Folge der Kindknoten in unserem Modell durchaus heterogen sein kann:

Heterogene n-olen Inhalte

Zeile hg0 zeigt den Ausgangsbaum.
Die in hg1 erscheinenden Knoten seien die oberste Ebene einer Alterative, tragen als für sich selbst eine Notwendige Proportion über alle drei(3) Geschwister.
In hg2 erscheinen die heterogenen Folge von Kindknoten der nächsten Ebene.
Zeile hg3 soll lediglich verdeutlichen, dass die Viertelnote tatsächlich solche sind, ohne jede Proportion, also in vier(4) Sechzehntel zerlegt werden können.

Soll ein Rhythmus wie in Zeile hg2 oder hg3 notiert werden, dann kann die lange Triolenklammer der oberen Ebene (wie in hg1) weggelassen werden und stattdessen die drei kürzeren "verselbständigten" Triolen wie in hg2.

Tritt aber die zweite Unterteilungsebene bei einem oder mehreren (>=1) Knoten der obersten ebene garnicht in Erscheinung, dann wird überall dort eine je eigene Triolenklammer gebraucht, wie in Zeile hg4. In diesem Falle ist die eine große Triolenklammer vielleicht die bessere Wahl, was durch einen Stilparameter gesteuert werden sollte.
Zeile hg5 zeigt, wie deren Wirkung dann bei einigen Unter-unter-Knoten kompensiert wird. Diese Notwendigkeit von Kompensation kann sich aber als Nachteil dieser Variante herausstellen.
Diese Entscheidung kann auch statisch getroffen werden, falls Zeile hg4 den Metrikbaum wiedergibt, also mindestens ein Knoten (hier: der mittlere) Knoten keine heterogene Teilung aufweist, also allemal der großen Klammer bedarf. Allemal werden die notwendigen Entscheidungswege dieser Phase in Phase Null-Zwei/Prop-Zwei so weit als möglich vorbereitet, s.o.
Abschnitt 2.11.

^Inh 2.18.1 Exkurs: Zweckmäßigkeit Verselbständigter n-olen

Dass in zeitgenössischer Verwendung von CWN verselbständigte n-olen durchaus ergonomisch zweckmäßig sind, zeige folgendes Beispiel:

45/32, Grunddauer 5 erlaubt Hemiolen, etc.

Da wir uns bisher "voll-kompositional" im Bereich der Rationalen Zahlen bewegen, können n-olen stets eliminiert werden durch Umschreiben auf einen größten gemeinsamen Teiler (d.i. eine hinreichend kleine Zählgröße) nebst entsprechender Anpassung des Tempos. So wird aus einer ungewöhnlichen Notation (Zeile T) eine stärker konventionelle (Zeile X).

Diese Äquivalenz zeigt zunächst nur, dass Zeile T nicht völlig aus der Luft gegriffen ist. Es kann aber weiterhin sogar sein, dass X dem psychischen Empfinden weniger adäquat ist, also weniger ergonomisch zweckmäßig. Seien z.B. alle auftretenden Schläge intern immer zwei(2)-geteilt, siehe Zeilen Tu und Xu. Es induzieren die Zeilen T und Tu einfach das Spielgefühl "drei Viertelschläge, dann drei Viertel-Triolen-Schläge, von denen der letzte übersprungen (/weggelassen) wird." Diese Proportion ist u.U. deutlich einfacher umzusetzen als die Variante X/Xu, die zwar rein arithmetisch äquivalent ist, aber etwas "stark synkopen-haftes" in der ersten Takthälfte vermuten läßt, und damit ein ganz anderes Spielgefühl.

^Inh 2.19 Phase Fünf/Nota: Generierung der Notationssymbole, Übergang von Knoten auf Noten

Zu Beginn dieser Phase haben wir für jedes Eingabe-Ereignis eine Menge von Knoten aus dem Metrikbaum: Eine vormals "lückenlose" Folge einer Überdeckung von einer seiner möglicherweise vielen Varianten, die durch Zusammenfassende Transformationen ausgedünnt wurde.

Diese Knotenfolge wird nun in Dauernsymbole übersetzt, und in korrekter Schachtelung mit den n-olen-Klammern ausgegeben.
Technisch gibt es in der Implementierung dafür einen "Visitor", der folgende Methoden anbietet:

  1. writeOut(DottedBaseDuration, Rational, int, boolean, boolean, boolean)
  2. openBracket(Rational)
  3. closeBracket(Rational)
  4. process()

Die ersten drei Methoden müssen vom Benutzer überschrieben werden, dann die letzte aufgerufen.

Die Klammer-Methoden bedeuten einfach das Öffnen und Schließen einer Klammer mit der entsprechenden Proportion. (Man beachte dass eine Rationale Zahl die Klammer determiniert, also ein gekürzter Bruch. "9/6" o.ae.ist also derzeit nicht möglich.)

Die writeOut()-Methode steht für je ein Dauersymbol. Dabei wird das Dauernsymbol, der momentan gültige Proportionalfaktor und die Nummer des originalen Eingabeereignisses mitgegeben, zusätzlich ob es Klang, nicht Pause ist, ob es das erste Symbol dieses Ereignisses ist, und ob es das letzte.

Die Ereignisnummer erlaubt dem Benutzer-Code das originale Ereignis zu identifizieren und so alle weiteren für die Ausgabe nötigen Parameter. Die Information "Klang, nicht Pause" wird also nur der Bequemlichkeit halber mitgegeben. Die Information ob erstes oder letztes Klangsymbol ist deutlich wichtiger, genau dies will der Benutzer ja vom Algorithmus erfahren. Beim ersten Symbol müssen z.B. Lautstärken eingetragen werden, beim letzten kein Haltebogen, etc. 12

In Phase Merge wurde schon darauf geachtet, dass die Ergebnisse einer Zusammenfassenden Transformation e-schreibbar sind. Dies braucht aber für nicht-transformierte Knoten, also solche, die direkt der Initialen Überdeckung stammen, nicht der Fall zu sein, -- die Regeln für Metrikbäume erlauben beliebige Dauern.

Der Algorithmus dieser Phase arbeitet wie folgt:

  1. Es sei ein Knoten k mit der Dauer dk zu schreiben, also in Dauernsymbole zu übersetzen.
    (Dabei ist dk die Summe der im Metrikbaum definierten Dauern für k und alle Nachfolgerknoten der Initialen Überdeckung, die wegen einer Zusammenfassenden Transformation nicht in Erscheinung treten, also bis zum nächsten erscheinenden Nachfolger.)
    (An dieser Stelle sind alle dafür Notwendigen Proportionen durch n-olen-Klammern realisiert, der Nenner von dk macht also keine Probleme. Das Produkt aller hier herrschenden Proportionen sei pz/pn)
  2. Wenn dn=dk*(pn/pz) e-schreibbar ist (also =(2^n)-1), dann notiere einfach diese Länge.
  3. Ansonsten muss dk als Summe dargestellt werden.
    (dk ist dann die originale Dauer von k, nicht das Ergebnis einer Zusammenfassenden Transformation).
    Betrachte dazu die innere Struktur von k:
  4. Ist k nicht äquidistant geteilt, oder nicht durch zwei(2), dann konstruiere einen Lösungsvorschlag "C", indem die Kind-Knoten der Reihe nach untersucht werden:
    1. Ist die Dauer des Kind-Knotens e-schreibbar, dann hänge sie (multipliziert mit pn/pz) an die Lösung C an.
    2. Ansonsten rufe diesen Algorithmus rekursiv auf, für den Kind-Knoten.
  5. Dann berechne eine Minimale Freie Zerlegung F von dn, s.u. Abschnitt 2.20.
  6. Wenn F deutlich weniger Dauernsymbole beinhaltet als C, dann nehme F als Repräsentation von k und schreibe diese heraus, sonst C.
    Ende der letzten Phase des Algorithmus.
  7. Wenn k hingegen äquidistant und durch zwei geteilt ist, dann nehme immer eine Minimale Freie Zerlegung von dn und schreibe sie heraus.

Die Entscheidung zwischen C und F ist wieder eine heuristische (vgl. Abschnitt 1.2): Wenn eine Dauer schon zerlegt werden muss, dann ist es grundsätzlich ergonomisch zweckmäßig, der Struktur der Kindknoten zu folgen. Das kann aber deutlich mehr Dauernsymbole kosten als eine MFZ, z.B. wenn die Dauern der Kindknoten ebenfalls nicht e-schreibbar sind.
Also kann irgendwann eine knappe MFZ, obwohl sie quer zum Metrikbaum steht, ergonomisch zweckmäßiger sein.
Für diese Entscheidung gibt es zwei Stilparameter, die angeben, wieviele Dauernsymbole in C maximal enthalten sein dürfen, damit dieser Lösungsvorschlag gewählt wird: max_childs_to_print ist eine absolute Größe, max_childs_over_free_sectioning gibt an wieviel C mehr als F haben darf.
[[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]
Wird einer der Werte überschritten, wird F gewählt.

Die letzte Regel (diesen Abschnitt, Liste 2, Listenpunkt 7) verhindert unendliche Rekursion: Bei äquidistanter Zweiteilung herrscht auf der Ebene der Kinder ja genau dasselbe Darstellungsproblem wie bei k, nur mit verdoppeltem Nenner. Also könnte von einer Berechnung von C niemals eine Lösung kommen.

Damit ist der metricSplit Algorithmus vollständig abgelaufen.

Zukünftige wünschenswerte Erweiterungen finden sich in Abschnitt 3.2.

^Inh 2.20 Phase Fünf/Nota: Minimale Freie Zerlegung

Wenn eine Dauer a/b (Rationale Zahl) an einer Stelle schreibbar ist, an der die Proportion (m/k) herrscht, dann wird sie geschrieben als
c/d=(a/b)*(k/m).

c/d enthält also nur Zweierpotenzen im Nenner, und soll nun ohne Hilfe einer weiteren Proportion geschrieben werden, also in Dauernsymbole übersetzt.

Für die Frage der Schreibbarkeit ist unter diesen Voraussetzungen (wie schon erwähnt) nur der Wert des Zählers relevant. Aus diesem ergeben sich zunächst keine grundlegenden Einschränkungen: Der Haltebogen zwischen zwei Dauernsymbolen bedeutet, wie erwähnt, die Addition von deren Dauernwerten. Es ist also möglich, jeden beliebigen Zähler einer rational gegebenen Dauer zu notieren, schlimmstenfalls durch wiederholte Addition von "eins(1)".

Nicht-trivial sind hingegen die Fragen nach den minimalen Schreibweisen, also nach der Schreibweise mit möglichst wenig Summanden/Dauernsymbolen.

Gibt es ein p>=1, sodass c=(2^p)-1, also c aus {1,3,7,15,31,63, ...}, so ist c/d e-schreibbar und p-1 ist die Anzahl der benötigten Verlängerungspunkte.

Andernfalls muss die Dauer c/d durch Summenbildung mit Haltebögen dargestellt werden. Wir nennen Minimale Freie Zerlegung (MFZ) eine Folge minimaler Länge aus Dp (also aus eventuell punktierten Dauernsymbolen, siehe die Definition oben Abschnitt 2.8), deren Summe c/d ergibt.

Das Wort "frei" bedeutet dabei, dass bei dieser Art von Zerlegung der Metrikbaum nicht berücksichtigt wird.

Da die Nenner immer Zweierpotenzen sind und c/d als Rationale Zahl gekürzt ist. treten für c nur ungerade Werte auf. Ausserdem ist der Nenner für die Ermittlung irrelevant, wir suchen also als "MFZ(c)" nur eine Folge von Summanden für den Zähler, die dann jeweils entsprechend eingesetzt werden kann.

Gehen wir aus von den Elementen in Dp, und dem darzustellenden Zähler c in binärer Zahlen-Darstellung: Die Zähler der Werte in Dp sind {1, 3, 7, 15, ..., 2^n-1}, und bilden als binäre Zahl eine zusammenhängende Folge von Einsen. Diese beginnen "ganz rechts" an der "Stelle Nummer 0" mit dem Stellenwert "1". Multipliziert man sie mit einer Zweierpotenz 2^m, so bedeutet das ein Verschieben dieser Folge nach links um m Stellen.

Besteht die Binärdarstellung von c nun aus "k" verschiedenen solchen zusammenhängenden Folgen von Einsen, jeweils getrennt durch mindestens eine Ziffer Null, so ist ein naheliegender erster Kandidat CAND(c) für MFZ(c) eine Menge aus k verschiednenen Werten aus Dp, von denen jeder einer maximalen zusammenhängenden Kette von Einsen in jener Binärdarstellung entspricht.
Jeder dieser Werte ist ein Produkt aus einem der Zählerwerte 2^n-1, entsprechend der Anzahl der Einsen, und einer Zweierpotenz 2^m, entsprechend der Positionsverschiebung der niederwertigsten dieser Einser:

// Ketten von Einsern:       1         11     111     1111     11111

//               c=   k=  c=                                           L=
    0000 0001     1    1   1*1                                          1
    0000 0011     3    1             1*3                                1
    0000 0101     5    2   4*1+1*1                                      2
    0000 0111     7    1                     1*7                        1

    0000 1001     9    2   8*1+1*1                                      3<<<
    0000 1011    11    2   8*1      +1*3                                2
    0000 1101    13    2   1*1      +4*3                                1
    0000 1111    15    1                            1*15                1

    0001 0001    17    2   16*1+1*1                                     3<<< 
    0001 0011    19    2   16*1     +1*3                                3<<<
    0001 0101    21   [3]  16*1+4*1+1*1                                 2-----
    0001 0111    23    3   16*1             +1*7                        2 

    0001 1001    25    2   1*1       +8*3                               1
    0001 1011    27    2              1*3+8*3                           1
    0001 1101    29    2   1*1                +4*7                      1    
    0001 1111    31    1                                       1*31     1

Durch simples Auslesen der längsten zusammenhängenden Einer-Kette enthält man Zerlegungen wie in obenstehender Tabelle. Im Fall einer Zerlegung, die aus zwei(2) Summanden, also Einer-Gruppen besteht, ist diese bestimmt eine Lösung, also eine minimale Summandenmenge, aber u.U. nicht die einzige; sie kann in eine(1) oder zwei(2) andere überführt werden. Dabei entstehen die trennenden Nullen zwischen den Einser-Gruppen durch Überlauf bei der Addition:

     XKM MMP         XKM MMP           XKM MMP 
    0010 0000       00oi iii0	      00o0 00i0
+   0000 0001     + 0000 00i1	    + 000i iii1
--------------    -----------	    -----------
    0010 0001       0010 0001	      0010 0001

Die neueingeführten Einser werden dargestellt als "i", die Nuller als "o".

Die Umwandlung geschieht durch Ersetzung der die beiden Einer-Gruppen trennenden Nullen. In beiden Summanden wird die niedrigste dieser Nullen durch eine Eins ersetzt (Stelle "P").
In einem der beiden Summanden werden auch alle übrigen dieser Nullen durch Eins ersetzt (Stellen "M"). Die Einsen an den Stellen P und M ergeben bei der Addition nun wieder Nullen.
Die niederwertigste Eins des höherwertigen Summanden wird durch Null ersetzt und ensteht in der Summer wieder als Überlauf, an Stelle "K".
In ebendiesem Summanden muss an der nächst-höheren Stelle "X" allerdings schon wieder eine Null stehen! Denn eine dort stehende Eins würde ja nach dieser letzten Ersetzung einen dritten Summanden erzeugen, und das Transformationsergebnis hätte eine Einer-Gruppe mehr, wäre also keine minimale Zerlegung. Also muss der obere Summand eine Einer-Gruppe der Länge 1(eins) sein, eine einfache Zweierpotenz.
Eine Entscheidungsmöglichkeit, in welcher der beiden Summanden die Stellen "M" durch Einsen gefüllt werden, besteht nur, wenn die trennende Nuller-Gruppe länger als eins(>1) ist, es also überhaupt Stellen "M" gibt.

Nennen wir dieses Verfahren der Ableitung weiterer Lösungen "KMP-Verfahren".

Es gilt also für die Anzahl der Lösungen L, soweit bisher betrachtet:

  1. L=1, wenn die Zahl c nur eine Einer-Gruppen enthält, also k=1.
  2. L=1, wenn die Zahl c genau k=2 Einer-Gruppen enthält, und die obere Einer-Gruppe länger als eins(>1) ist,
  3. andernfalls L=2, wenn k=2 und die trennende Nuller-Gruppe die Länge eins(=1) hat,
  4. andernfalls L=3, wenn k=2.

Das KMP-Verfahren hat durchaus praktische Relevanz in der Notation von Musik. Die verschiedenen Summen ...

       XKP             XKP               X KMP           X KMP          X KMP 
  0000 0100       0000 0010	      0000 1000       0000 0110	     0000 0010
+ 0000 0001     + 0000 0011	  +   0000 0001     + 0000 0011	   + 0000 0111
------------    -----------	  --------------    -----------	   -----------
  0000 0101       0000 0101	      0000 1001       0000 1001	     0000 1001

...eingesetzt als Nenner von "/16", stehen für die je nach Kontext zu bevorzugenden Notationsvarianten ...

verschiedene Freie Zerlegungen

Volute

Das KMP-Verfahren funktioniert auch bei k=3, angewandt auf zwei der drei Summanden, auch auf die nicht unittelbar benachbarten, da die Addition ja assoziativ ist. Heissen diese von unten nach oben A, B und C.
Stehe (XY) für die Anwendung auf die Gruppen X und Y, bei mehr als einer (>1) trennende Null, wobei X die Einer an den M-Positionen zugeschlagen bekomme. Die neuentstehenden Gruppen heißen X' und Y' (oder X2 und Y2, bei wiederholter Anwendung, s.u.).
Bei nur einer trennenden Null(=1) gibt es nur eine Applikationsmöglichkeit, die wir (STS) schreiben. (Dabei ist S meist die niederwertige Gruppe.)

Im Falle von k=3 kommen zu der einen Ausgangslösung CAND(c) noch hinzu:

  1. Zwei(4) weitere, wenn Gruppe C die Länge eins(1) hat: (AC) und (CA) geschehen zwangsläufig mit einer trennenden Nuller-Kette länger als eins(>1).
  2. Plus nocheinmal eine(1) durch (BCB) oder zwei(2) durch (BC) und (CB), je nach Lückenlänge.
  3. Plus noch einmal null(0) bis zwei(2) Lösungen durch Anwendung auf A und B, je nach Länge von B und Lücke.

Maximal könnten also sechs(6) weitere Lösungen dazukommen:

  Gruppe C =1  Lücke C-B =1  (l0=3) Gruppe B =1   Lücke B-A  =1  (l1=1)   L=5
                                                  Lücke B-A  >1  (l1=2)   L=6
                                    Gruppe B >1                  (l1=0)   L=4
               Lücke C-B >1  (l0=4) Gruppe B =1   Lücke B-A  =1           L=6
                                                  Lücke B-A  >1           L=7
                                    Gruppe B >1                           L=5

  Gruppe C >1                (l0=0) Gruppe B =1   Lücke B-A  =1           L=2
                                                  Lücke B-A  >1           L=3
                                    Gruppe B >1                           L=1

0010 1001 = 41 ist das numerisch niedrigste Beispiel mit zunächst sechs(6) Minimalen Freien Zerlegungen (nicht etwa 0010 0101=37, s.u.!):

    orig         (BA)       (AB)        (BCB)        (AC)        (CA)
                      KMP        KMP      KP           KM MMP      KM MMP
A    0000 0001   0000 00i1  0000 0ii1   0000 0001    000i iii1   0000 00i1     
B   +0000 1000  +0000 oii0 +0000 o0i0  +000i 1000   +0000 1000  +0000 1000
C   +0010 0000  +0010 0000 +0010 0000  +00oi 0000   +00o0 00i0  +00oi iii0
    ----------  ----------  ---------  ----------   ----------  ----------
     0010 1001   0010 1001  0010 1001   0010 1001    0010 1001   0010 1001

0100 1001 = 73 ist das numerisch niedrigste Beispiel mit zunächst sieben(7) Minimalen Freien Zerlegungen:

    orig         (BA)       (AB)        (BC)       (CB)        (AC)        (CA)
                      KMP        KMP     KMP        KMP         KMM MMP     KMM MMP
A    0000 0001   0000 00i1  0000 0ii1   0000 0001  0000 0001   00ii iii1   0000 00i1     
B   +0000 1000  +0000 oii0 +0000 o0i0  +00ii 1000 +000i 1000  +0000 1000  +0000 1000     
C   +0100 0000  +0100 0000 +0100 0000  +0o0i 0000 +0oii 0000  +0o00 00i0  +0oii iii0  
    ----------  ----------  ---------  ---------- ----------  ----------  ----------     
     0100 1001   0100 1001  0100 1001   0100 1001  0100 1001   0100 1001   0100 1001     

Aber tatsächlich explodiert bei k=3 die Anzahl der Möglichkeiten! Man sieht nämlich sofort sofort, dass neue hochstehende Einergruppen auftreten, resp. alte überleben, sodass das KMP-Verfahren wiederholt angewandt werden kann.

In den Fällen (AB) und (BA) überlebt die obere Gruppe C mit ihrer einen(1) Eins.

Vorüberlegung:
Sei S niederwertiger als T und T einstellig.
a) Seien S und T durch mindestens zwei Nullen (>=2) getrennt, es gibt also M-Stellen. Durch Anwendung (TS) entsteht keine Einergruppe der Länge =1, da S' die neue Eins an Stelle P und ihre mindestens eine ursprüngliche Eins bei Stelle (P-1) hat, und T' mehr als eine Eins an den Stellen P und M.
Aber in (ST) wird T' zu einer einfachen Eins("i") an Position P. Dabei ist P bestimmt durch die erste Null über der niederwertigen Gruppe S.

              (ST)     (TS)
              KM MP    KM MP
S    00 001   0i ii1   00 0i1
T    10 000   o0 0i0   oi ii0

b) Bei (STS) entsteht immer eine solitäre Eins in T'.

           (STS)
           KP  
S    001   0i1 
T    100   oi0 

Nach der Anwendung (AB) in den obigen Beispielen kann dies nicht ausgenutzt werden, da das entstehende B' keinen unteren Nachbarn mehr hat. (Dafür überlebt dort die Einergruppe C!)
Aber in (BC) ist A der untere Nachbar und in (AC) ist B der obere Nachbar von C'.
Ausserdem bleibt in (CA) das unbeeinflusste B ein oberer Nachbar von A', nur dass die Nuller-Lücke geschrumpft ist.

Folglich kann das KMP-Verfahren ein zweites Mal angewandt werden,
In (AB) und (BA) auf C und A' oder B';
in (BCB) auf C' und A;
in (AC) auf B und C'.
in (CA) auf B und A'.

(Wir schreiben "X2" und "X3" für die bei den weiteren Applikationen aus "X" entstehenden Einer-Gruppen.)

Dies führt bei den bisherigen sechs(6) MFZ von 41 zu folgenden weiteren 12 Lösungen:

A'    0000 0011  (BA)            A'    0000 0111  (AB)            
B'   +0000 0110 		 B'   +0000 0010                  
C    +0010 0000 		 C    +0010 0000                  
				                                  
        KM MP    (BA)(AC)	         KM P     (AB)(AC)       
A'2   000i ii11			 A'2   000i i111                  
B'   +0000 0110			 B'   +0000 0010                  
C2   +00o0 0i00			 C2   +00o0 i000                  
     ----------			      ----------                  
     =0010 1001			      =0010 1001                  
				                                  
        KM MP    (BA)(CA)	         KM P     (AB)(CA)       
A'2   0000 0i11			 A'2   0000 i111                  
B'   +0000 0110			 B'   +0000 0010                  
C2   +00oi ii00			 C2   +00oi i000                  
     ----------			      ----------                  
     =0010 1001			      =0010 1001                  
				                                  
        KM P			         KM MP                    
A'    0000 0011  (BA)(BC)	 A'    0000 0111  (AB)(BC)       
B'2  +000i i110 		 B'2  +000i ii10                  
C2   +00o0 i000 		 C2   +00o0 0i00                  
      ---------			       ---------                  
     =0010 1001			      =0010 1001                  
				                                  
        KM P			         KM MP                    
A'    0000 0011  (BA)(CB)	 A'    0000 0111  (AB)(CB)       
B'2  +0000 i110 		 B'2  +0000 0i10                  
C2   +00oi i000 		 C2   +00oi ii00                  
      ---------			       ---------                  
     =0010 1001                       =0010 1001                  

----------------------------------------------------------------

A     0000 0001  (BCB)       A'    0001 1111  (AC)            
B'   +0001 1000 	     B    +0000 1000                  
C'   +0001 0000 	     C'   +0000 0010                  
				                                  
         K MMP   (BCB)(CA)              KP    (AC)(BCB)
A2    0000 00i1		     A'    000i i111                  
B'   +0001 1000		     B2   +0000 oi00                  
C'2  +000o iii0		     C'2  +0000 0i10                  
     ----------			  ----------                  
     =0010 1001		          =0010 1001                  
				                                  
         K MMP   (BCB)(AC)     
A2    0000 iii1		  --------------------------------------     
B'   +0001 1000		       
C'2  +000o 00i0		     A'    0000 0011  (CA)
     ----------		     B    +0000 1000
     =0010 1001		     C'   +0001 1110

                                        KP    (CA)(ABA)
                             A'2   0000 0i11
                             B2   +0000 oi00
                             C'   +0001 1110
                                  ----------
                                  =0010 1001

Eine ähnliche Überlegung führt dazu, dass auf (BA)(BC) C2 als Solitär über A' und in (AB)(AC) über B' entsteht, und deshalb das KMP-Verfahren ein drittes Mal angewandt werden kann:

(BA)(BC)             (AB)(AC) 
A'    0000 0011            A'2   0001 1111 
B'2  +0001 1110 	   B'    0000 0010
C2   +0000 1000            C2    0000 1000     

(BA)(BC)(ACA)	     (AB)(AC)(BCB)                               
           KP                         KP          
A'3   0000 0i11	           A'2   0001 1111          
B'2  +0001 1110		   B'3  +0000 0i10
C23  +0000 oi00	           C23  +0000 oi00
     ----------			----------                  
     =0010 1001			=0010 1001                        

In Noten übersetzt, bezogen auf 64tel, von links nach rechts gelesen, also immer die längste voran:

verschiedene Freie Zerlegungen

Es scheint also zunächst 6+12+2=20=18 Lösungen zu geben. Allerdings gilt (was man am bequemsten an den Notensymbolen ablesen kann !-):
(AC)=(AB)(AC) = 4.... + 8
(BA)(AC) = (AC)(BC) = (AB)(AC)(BCB) = 4.... + 16.
(CA)=(BA)(BC) = 4... + 8
(AB)(BC) = (CA)(AB) =(BA)(BC)(ACA) = 4... + 16..
(BA)(CA)=(AB)(CB) = 4.. + 16..
(AB)(CA) = (BC)(AC) = 4. + 8...
(BA)(CB)=(BC)(CA) = 4. + 8..

Es bleiben also 20-9=11 verschiedene Lösungen.

Volute

Bei den bisherigen sieben(7) MFZ von 73 folgt die wiederholte Anwendung zu folgenden weiteren Lösungen:

A'    0000 0011  (BA)            A'    0000 0111  (AB)            
B'   +0000 0110 		 B'   +0000 0010                  
C    +0100 0000 		 C    +0100 0000                  
				                                  
       KMM MP    (BA)(AC)	        KMM P     (AB)(AC)       
A'2   00ii ii11			 A'2   00ii i111                  
B'   +0000 0110			 B'   +0000 0010                  
C2   +0o00 0i00			 C2   +0o00 i000                  
     ----------			      ----------                  
     =0100 1001			      =0100 1001                  
				                                  
       KMM MP    (BA)(CA)	        KMM P     (AB)(CA)       
A'2   0000 0i11			 A'2   0000 i111                  
B'   +0000 0110			 B'   +0000 0010                  
C2   +0oii ii00			 C2   +0oii i000                  
     ----------			      ----------                  
     =0100 1001			      =0100 1001                  
				                                  
       KMM P			        KMM MP                    
A'    0000 0011  (BA)(BC)	 A'    0000 0111  (AB)(BC)       
B'2  +00ii i110 		 B'2  +00ii ii10                  
C2   +0o00 i000 		 C2   +0o00 0i00                  
      ---------			       ---------                  
     =0100 1001			      =0100 1001                  
				                                  
       KMM P			        KMM MP                    
A'    0000 0011  (BA)(CB)	 A'    0000 0111  (AB)(CB)       
B'2  +0000 i110 		 B'2  +0000 0i10                  
C2   +0oii i000 		 C2   +0oii ii00                  
      ---------			       ---------                  
     =0100 1001                       =0100 1001                  

----------------------------------------------------------------

A     0000 0001  (BC)        A'    0011 1111  (AC)            
B'   +0011 1000 	     B    +0000 1000                  
C'   +0001 0000 	     C'   +0000 0010                  
				                                  
         K MMP   (BC)(CA)               KP    (AC)(BC)       
A2    0000 00i1		     A'    00ii i111                  
B'   +0011 1000		     B2   +0000 oi00                  
C'2  +000o iii0		     C'2  +0000 0i10                  
     ----------			  ----------                  
     =0100 1001		          =0100 1001                  
				                                  
         K MMP   (BC)(AC)     
A2    0000 iii1		  --------------------------------------     
B'   +0011 1000		       
C'2  +000o 00i0		     A'    0000 0011  (CA)
     ----------		     B    +0000 1000
     =0100 1001		     C'   +0011 1110

                                        KP    (CA)(AB)
                             A'2   0000 0i11
                             B2   +0000 oi00
                             C'   +0011 1110
                                  ----------
                                  =0100 1001

Auch hier erlauben (BA)(BC) und (AB)(AC) eine dritte Anwendung, was also zunächst 7+12+2=21 Lösungen ergibt, unter denen wiederum Doubletten auszusondern wären, etc.

Volute

Es kann aber auch das Gegenteil gelten, eine "Implosion", dass nämlich CAND(c), die naive einfache Zerlegung in Einer-Gruppen laut Tabelle, gar keine Lösung ist, da die Anzahl der Summanden nicht minimal ist. Im o.e. abstrakten Fall (ST) wird das (höherwertige) T ja zu einer solitären Eins an Stelle P, bei (TS) ist diese Eins das obere Ende von S'.

Sind nun im konkreten Fall A und B nur durch eine einzige (=1) Null getrennt, dann steht diese genau an der Stelle P, wenn die Transformation auf A und C angewandt wird. Im Falle (AC) verschmelzen B und C', im Falle (CA) verschmelzen B und A':

           XK MMP    (AC)  XK MMP        (CA)  XK MMP 
A    +   0000 0001     + 0000 iii1	   + 0000 00i1 \
B    +   0000 0100     + 0000 0100 \	   + 0000 0100 /
C        0001 0000       000o 00i0 /         000o iii0   
     --------------    -----------	   -----------
         0001 0101       0001 0101	     0001 0101

Es gibt im Fall von drei Einer-Gruppen, bei denen die unteren beiden nur durch eine(1) Null getrennt sind und die oberste nur eine(1) Eins hat, also nur zwei(2) Lösungen. Diese benötigen allerdings einen Summand weniger als die ursprüngliche naive Einer-Gruppen-Zerlegung, nämlich nur zwei(2).

Die frühest auftretenden dieser Fälle sind

   0001 0101 = dezimal 21
   0010 0101 = dezimal 37
   0010 1101 = dezimal 53
   0100 0101 = dezimal 69
   0100 1101 = dezimal 77  etc.

Volute

Sowohl die explodierenden Lösungen mit k=3 ab 47, als auch die schrumpfenden ab 37 werden zur Zeit ignoriert. Der metricSplit-Algorithmus behandelt die Bildung des MFZ "heuristisch" im Sinne der Unterscheidung von Abschnitt 1.2: ausschließlich die Einundzwanzig(21) wird fest auf 15+6 oder 14+7 abgebildet. Für alle anderen Nenner wird CAND(c) als Zerlegung geliefert, da wir diese z.Zt. im Kontext der praktischen Anwendung von CWN für äußerst selten halten.

In theoretischer Hinsicht scheinen allerdings weitere Verallgemeinerung dieser Ergebnisse durchaus wünschenswert.

^Inh 3 Ausblick

^Inh 3.1 Mögliche Verwendungen

MetricSplit ist zur Zeit in Java implementiert und Teil des Projektes BandM Models of Music. [bandmMusic]
Dabei dient es zunächst dazu, Ergebnisse von algorithmischem Komponieren zu visualisieren, indem Quelltexte für das Notensatzprogramm Lilypond generiert werden. [lilyPond]
Andere "back-ends", wie "Music XML", sollen folgen.

Neben der praktischen ist ja, wie zu Beginn erwähnt, auch durchaus eine theoretische Nützlichkeit angestrebt.

Es scheint durchaus sinnvoll, gegebene Corpora der Musikgeschichte (Manuskripte oder Drucke) zu versuchen, mit MetricSplit nachzurealisieren, indem die Parametereinstellungen gefunden werden, die möglichst ähnliche Resultate zeitigen. Dies kann Erkenntnisse bringen in zwei diametral entgegengesetzte Richtungen: Einmal (a) über die Corpora selber, ihre Systematik, Vergleichbarkeit, innere Konsistenz, etc., vielleicht sogar über den geistigen Zustand, die Entwicklung des Autors.
Dann aber auch (b) über den Algorithmus selbst, über häufig merkliche Defizite, die eine entsprechende Weiterentwicklung wünschenswert machen.

^Inh 3.2 Mögliche Erweiterungen

Im voranstehenden Text wurden schon etliche Punkte erwähnt und verortet, die der Implementierung harren, und die hier zwecks Übersicht noch einmal zusammengefasst seien:

  1. Die oben erwähnte praktische Austestung von metricSplit an historischen Corpora wird wohl weitere Stilparameter nahelegen, um das Verhalten noch flexibler zu machen.
  2. Kombination des Musters der Punktierung innerhalb von Synkope und Hemiole (Abschnitt 2.17). Dies beinhaltet auch eine flexiblere und der Praxis gemäßere, heuristische Behandlung der "netten aber problematischen" Vierer-Teilung (s. Abschnitt 2.15.7).
  3. Heterogene Inhalte werden noch nicht mit vereinzelten n-olen-Klammern geschrieben, wenn der Elterknoten den Faktor (für seine eigene Dauer) bereits zwingend einführt. Dies entspricht der noch fehlenden Phase Vier/BrSel, s. Abschnitt 2.18.
  4. In diesen Bereich gehört auch die Generierung mehrfach-gereihter Klammern bei "überfließenden" verselbständigten n-olen.
  5. Punktierungen können evtl. durch neu eingeführte Abkürzende Proportionen/n-olen-Klammern ermöglicht werden, siehe die weiterführende Diskussion in Abschnitt 5.1.
  6. Die Datenstrukturen und Entscheidungswege von metricSplit sind hochgradig geeignet, kann auch die Entscheidung über Balken-Setzung elegant zu implementieren.
  7. Es bedarf einer Distiribution des Programmes, z.B. einer JNLP/Java-Web-Start Version, zum direkten Ausprobieren.
  8. Proportionen/n-olen-Klammern sollten auch ungekürzt bezeichnet werden können, wie z.B. "9/6",
  9. Achtel-Pausen-Synkopen werden von modernerer Praxis durchaus gefordert, besonders in der "überbalkten" Form, siehe Fußnote11.

Bei nächster Gelegenheit werden wir, Inschallah, diese Punkte sukzessive abarbeiten.

^Inh 4 Demo-Applikation DemoMetric

Man kann sich mit einem Klick auf http://bandm.eu:/metatools/download/DemoMetric.jnlp die Java-Applikation DemoMetric herunterladen, die es erlaubt, mit dem Algorithmus zu spielen.

Das erscheinende GUI zeigt drei "Karteikarten": Auf der ersten trage man die Formel für die Metrikbaum-Spezifikation ein. Die beiden Fenster darunter zeigen den Metrikbaum, das linke in seinem Originalzustand, das rechte beim "Lernen".

Auf der zweiten Karteikarte kann ein Rhythmus als Dauern- oder als Zeitpunkt-Folge eingegeben werden. Die Eingabe wird in die jeweils andere Form umgerechnet und normiert.

Drückt man dort "Return", oder in der dritten Eingabezeile, die zwischen Klang und Pause zu unterscheiden erlaubt ("s" oder "p"), dann erscheint unten der Visitationsablauf, und auf einer dritten Karteikarte ein generierter Lilypond-Quelltext [lilyPond].

((Diese Applikation ist noch in der Entwicklung und ihre Handhabung kann sich noch wenig, ihr Leistungsumfang sehr verändern!--))

((Anmerkung fuer Windows-User:
Die Applikation benötigt Java-ACHT, welches evtl. auf Ihren Rechner erst heruntergeladen werden muss. Dieser Prozess wird durch Anklicken des o.e. Jnlp-Links i.A. automatisch eingeleitet: Man wird auf eine Browser-Seite geleitet, von der man die "Java-Acht-Installations-.exe-Datei" erhält, die man schlicht ausführen muss. (Dabei alle Bedingungen akzeptieren !-)

Das Kontroll-Panel befindet sich seit Java-Acht nicht mehr in der "Systemsteuerung", sondern in "Taskleiste->All Programme->Java->Java konfigurieren".
Dort muss unter "Sicherheit -> Site-Liste bearbeiten" die Quell-Site "http://bandm.eu" als AUSNAHME eingetragen werden, damit DemoMetric durch den Sicherheitscheck geht.
))

Viel Spaß.

^Inh 5 ANHANG: Genauere Diskussion von E-Schreibbarkeit und Zusammenfassenden Transformationen, nebst lustigen extremen Beispielen

^Inh 5.1 Zusammenfassende Überlegungen

Fassen wir hier die gemeinsamen Probleme wechselseitigen Beeinflussungen von E-Schreibbarkeit und Zusammenfassenden Transformationen noch einmal zusamen.

Zunächt zur Erinnerung: an jeder Stelle im Ausgabeprozess, an der eine Dauer "p/q" zu notieren ist, sind alle in derem Nenner auftretenden Faktoren != 2^n bereits durch umgebende Proportionen/n-olen-Klammern realisiert und aus dem zu notierenden Wert herausgerechnet.
Es bleibt also einzig der Zähler kritisch. Wenn die Dauer "e-schreibbar" ist (also als ein einziges(1) CWN-Dauernsymbol schreibbar), dann hat dieser die Form 2^n-1, für irgend ein n. Dabei ist (n-1) die Anzahl der auftretenden Verlängerungspunkte. Diese Zahlen sind alle rechtsbündig beginnenden geschlossene Einerketten in Binärdarstellung,

Man sieht im folgenden sehr schön die Windschiefigkeit von historischer Entwicklung und praktischer Anwendung: Erfunden wurde der Verlängerungspunkt im Frühbarock (wahrscheinlich als schludrige Form des Haltebogens) für die "punktierten Rhythmen" drei-zu-eins, sieben-zu-eins, etc., in diesen festen Kontexten. Heute allerdings kann diese Schreibweise, davon "abstrahiert", schlichtweg verwendet werden, um in beliebigem Kontext die Nenner drei(3), sieben(7), fünfzehn(15) etc. auszudrücken.

Volute

Zur Orientierung seien die hier relevanten Eigenschaften der beteiligten Kind- und Elterknoten (K-und E-Knoten) nochmals aufgeführt, die zur Anwendbarkeit der verschiedenen Zusammenfassenden Transformationen vorliegen müssen:

Transformationsmuster Allg. Bedingung der Anwendbarkeit UND:
Zweier-Synkope E-Knoten gleichlang beide äquidistant zwei(2)geteilt
Dreier-Synkope und Hemiole E-Knoten gleichlang beide äquidistant drei(3)geteilt
Punktierung die zwei je Ebene beteiligten E-Knoten gleichlang alle Vorfahren des kürzesten beteiligten Knotens (aufsteigend bis zum ersten für alle beteiligten gemeinsamen) äquidistant zweigeteilt
n Geschwister K-Knoten gleichlang

Die E-Schreibbarkeit der resultierenden Dauer ergibt sich durch die Kombination der Dauer der beteiligten (resp. des kürzesten beteiligten) Kind-Knotens und dem letztlich auf diese anzuwendenden Faktor. Dieser hängt von der Art der Zusammenfassenden Transformations ab. Aufgeschlüsselt nach diesem Faktor stellen sich die Bedingungen dar als ...

Faktor Transformation Bedingung für E-Schreibbarkeit des Resultates
2 o. 4 Zweier-Synkope, Hemiole,
zwei o. vier Geschwister
K-Dauer e-schreibbar
3 Dreier-Synkope,
drei Geschwister
K-Dauer als Grundsymbol schreibbar
(oder Spontane Ausnahmen, wie K-Dauer=5)
5 Fünfer-Synkope (oder Spontane Ausnahmen, wie K-Dauer=3)
3,5,7,15... Punktierung K-Dauer als Grundsymbol schreibbar
(oder Spontane Ausnahmen wie 3*5, 7*9)

Selbstverständlich sind alle Faktoren der Form 2^n unkritisch: Ist die K-Dauer e-schreibbar, ist es auch das Produkt, also das Transformationsresultat, und auch umgekehrt.

Für alle Faktoren der Punktierungen (also 2^n-1, also 3,7,15,31 etc.) gilt, dass das Resultat e-schreibbar ist, wenn die K-Dauer eine Grund-Dauer ist ("g-schreibbar").
Wenn die K-Dauer bereits punktiert ist, führen sie niemals zur E-Schreibbarkeit.
Ansonsten (K-Dauer ist ungerade, aber nicht 2^n-1) gibt es grundsätzlich keine E-Schreibbarkeit, aber Spontane Glückliche Ausnahmen. So z.B. für den Faktor fünf(5) und neun(9), s. die folgenden Beispiele.

Wichtig für den Zusammenhang ist die erwähnte Tatsache, dass punktierte Werte nicht punktiert werden können. Dies ist gleichbeutend mit dem Satz, dass ein Produkt (2^a-1)*(2^b-1) für a,b>=2 niemals als [Verschiebung von] (2^x-1) darstellbar ist.
Das zeigt sich am einfachsten bei der Betrachtung der Binärziffern: beide Faktoren sind geschlossene Einerketten, beginnend bei Stelle null. Berechnet man die Multiplikation als mehrfache Addition, dann sieht die "rechte obere Ecke" davon immer so aus:

      .... xx11
      ...x x11
      ..xx 11 
     etc....
 +______________
      .... ..01

...und zwar völlig unabhängig von xx, also den höheren Bits von a und b.
Da die Stelle null eine Eins aufweist, die Stelle eins eine Null, und zweifellos noch höhere Einsen erscheinen werden, entsteht niemals eine zusammenhängende Einerkette, auch nicht durch Kommaverschiebung.

Die konkrete Konsequenz für unser Problem ist, dass wenn die Kind-Knoten schon punktierte Dauern haben, die Zusammenfassende Transformation der Punktierungen (ein- oder mehrfach) nicht anwendbar sind.

Eine hier noch nicht implementierer Lösungsanatz wäre die Verwendung von zusätzlichen Abkürzenden Proportionen. Dies sind lt. Definition in Abschnitt 2.10 solche, die durch additive Schreibweise ersetzt werden können, die sich also (im Ggs. zu den Notwendigen Proportionen) auf Zähler statt Nenner beziehen. Mit diesen könnten die Punktierungen der K-Knoten eliminiert werden, so das diese zu Grundsymbolen werden, und dann die Punktierung ganz wie üblich angewandt werden, siehe Beispiele unten in Abschnitt 5.3.
[[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]

Ist über dem entsprechenden Bereich bereits eine Notwendige Proportion aktiv, so können evtl. zum Zwecke der Lesbarkeit beide Proportionen vereinigt werden, zu einer Gemischten.

Dieses Vorgehen ist aber i.A. nur dann uneingeschränkt anzuwenden, wenn nicht "weiter unten" im zu notierenden Rhythmus doch noch kürzere Dauernwerte auftreten, welche des ursprünglichen Zählers durchaus bedürfen, und nur durch eine weitere, geschachtelte Proportion notierbar sind, welche die gerade neu eingeführte rückgängig machen muss. Auch dazu folgen unten Beispiele.

Volute

Die lustigen Spontanen Ausnahmen für "E-Schreibbarkeit trotz krummer Faktoren und krummer K-Dauern" zeigen sich in folgender Multiplikations-Matrix, in der die e-schreibbaren Werte hervorgehoben sind.

X[3] 5 X[7] 9 11 13 X[15] 17
X[3] 9 X[15] 21 27 33 39 45 51
5 25 35 45 55 65 75 85
X[7] 49 X[63] 77 91 105 119
9 81 99 117 135 153
11 121 143 165 187
13 169 195 221
X[15] 225 X[255]

Die ab 15 beruhen auf der zweiten binomischen Form:
(2^n+1)*(2^n-1) = 4^n-1=2^(2*n)-1

Dies führt zu weiteren Spontanen Ausnahmen, wenn eine der beiden Zahlen nicht prim ist.
Allemal läßt sich obige Formel von rechts nach links anwenden:
15 * 17 = 3 * (5 * 17) = 3 * 85 = 5 * (3 * 17) = 5 * 51.
Wir wissen (noch) nicht, ob derartige Umformungen die einzigen weiteren Lösungen sind, -- sie sind allemal weit außerhalb des für das CWN-Notationsproblem relevanten Bereiches.

Je nachdem wie die Zahlen verwendet werden, bewirken sie entweder, dass e-schreibbare Kinder e-schreibbar bleiben (kleinere Zahl als K-Dauer, größere als Faktor), oder sogar, ganz paradox zu unserem Grundproblem, dass nicht-e-schreibbare K-Dauern im Transformations-Result "plötzlich" e-schreibbar werden (kleiner Zahl als Faktor, größere Zahl als K-Dauer), siehe die folgenden Beispiele.

Grundsätzlich findet der metricSplit-Algorithmus auch all diese Spontanen Ausnahmen und wendet die Transformationen in entsprechend weiterem Rahmen durchaus an.

Volute

Es folgen einige signifikante Beispiele für die unterschiedlichen Kombinationen von E-Schreibbarkeit vor und nach der Anwendung von Transformationen. Vereinfachend gilt, wie erwähnt, dass diese nur von K-Dauer und Faktor abhängt. Deshalb gelten die folgenden Beispiele und Bedingungen für Geschwister-Verschmelzung entsprechend auch für Synkopen und Hemiolen, solange der Faktor derselbe ist. Einer eigenen Diskussion bedürfen folglich nur die Punktierung und die Fünfer(5)-Synkope.

^Inh 5.2 Beispiele für Kombinationen aus drei(3) und fünf(5)

Die Dauer der Knoten der zweiten Ebene (der Kinder der Wurzel) im 18/16-Metrum 2*3*3*1/16 beträgt 9/16 und ist nicht e-schreibbar, jedoch die ihrer Kinder (3/16), und der Zusammenfassung von zweien(2) davon (6/16=3/8).
Zwischen der Kind-Darstellung in Zeile "C" und der Freien Zerlegung in Zeile "F" könnte durch einen einzuführenden Stilparameter entschieden werden. Normalerweise aber sollte die "C" Lösung bevorzugt werden, da darauf wiederum eine zumindest teilweise Zusammenfassung sinnvoll anwendbar ist, siehe Zeile "C+", wegen e-schreibbarer Kinder und Faktor=2.
Die Darstellung "X" ist zu verwerfen und würde von unserem Algorithmus auch nie gefunden werden, obwohl sie rein arithmetisch möglich wäre:

8/6 Elterknoten nicht e-schreibbar - eins

Umgekehrt beim 15/16-Metrum 3*5*1/16: Hier ist der Elterknoten e-schreibbar, nicht jedoch die Kinder, und auch nicht die Verschmelzung zweier Geschwister.
Die E-Schreibbarkeit ist "Spontane Ausnahme", siehe obige Multiplikationstabelle, denn die Schreibweise mit drei Verlängerungspunkten war ja ehedem für einen ganz anderen Kontext erfunden worden, nämlich für die feste Kombination "15+1", genannt "dreifache Punktierung"!

Zeile S0 ist e-schreibbar wie in Zeile SX, verwirrt aber nur, da es sich um eine "falsche Synkope" handelt, und wird von unserem Algorithmus nicht errechnet. Die richtige Synkope in Zeile SY ist hingegen nicht e-schreibbar und wird deshalb ebenfalls nicht generiert.

5/6 Elterknoten e-schreibbar - nicht aber die Kinder

Im verdoppelten Metrum 2*3*5/16 kann man o.e. Paradoxie bewundern: die e-schreibbare Dreiersynkope, obwohl der K-Knoten nicht g-schreibbar, noch nicht einmal e-schreibbar ist:

Dreier-Synkope im 5/6

Dieselbe Gleichung "3*5=15" ermöglicht im Metrum x*5/16 (also mit zwei(2)-geteilten Kindknoten, warum auch immer ...) die direkte E-Schreibbarkeit des Resultat-Wertes von einfachen Punktierungen, siehe wieder obige Multiplikationstabelle:

5/6 Punktierung mit Fünf im Zähler

Beim dualen 15/16-Metrum 5*3*1/16 sind hingegen beide Ebenen e-schreibbar. Der Wurzel-Knoten wieder "spontanerweise".
Von den Zusammenfassungen sind nur die mit geradzahligen Faktoren e-schreibbar.
(Die freie Zerlegung KX ist übrigens durchaus diskussionswürdig, besser wäre wohl die partielle Geschwister-Verschmelzung KG. SX statt S0 wird nicht empfohlen, obwohl e-schreibbar, und wird von unserem Algorithmus auch nicht errechnet.)

5/6 Elterknoten und Kindknoten e-schreibbar

Verdoppeln wir diesen Kontext zur Metrik 2*5*3*1/16, so ergibt sich die in obenstehender Tabelle erwähnte Spontane Ausnahme der e-schreibbaren Synkope in einer Fünfer-Metrik. Es ist allerdings fraglich, ob man die wirklich will:

Fünfer-Synkope

^Inh 5.3 Beispiel für Punktierungen und Abkürzende Proportionen

Bei der Punktierungs-Transformation kommt eine Voraussetzung bzgl. der Art der Teilung der beteiligten Elterknoten hinzu: äquidistant durch zwei(2). Dies ist in Kombination mit einem ungeraden Nenner (!=2^x) nur in zusammengesetzten Metriken anzutreffen, bei denen eine Art von Tempo-Relation durch die Schreibweise mit verschiedenen Grunddauern ausgedrückt wird.

So sind z.B. im Metrum 4/8+5/8 in beiden Hälften alle Ebenen stets äquidistant zwei(2)geteilt (es heißt ja NICHT 4/8+5/8(5)!), aber die Ereignisse der zweiten Takthälfte halt "leicht langsamer" als die der ersten:

Die Schreibweise mittels Proportion sollte bei einer Einführung von "Abkürzenden Proportionen", wie oben diskutiert, von unserem Algorithmus dann gefunden werden, wenn sie das Ergebnis einer Punktierungs-Zusammenfassung e-schreibbar macht, also Zeile PP stattt PX, nicht aber ohne dies, wie in Zeilen P und PC.

9/8 Punktierung mit nicht-G-schreibbaren Kindknonten

Ein wesentlich häufigeres Phänomen allerdings ist die Duole, also die Zweiteilung anstelle der Dreiteilung, wie im Metrum 2*3*1/8+2*2*3/16. Diese kann ja als ein duales Phänomen zu der sehr häufigen Triole gesehen werden. Hier kann jedoch mittels eines Stilparameters die Proportionen-Schreibweise grundsätzlich bevorzugt werden (Zeile D), Allemal aber sollte diese Schreibweise automatisch gewählt werden, um das Ergebnis von Punktierungen aller Ebenen e-schreibbar zu machen (Zeilen P4, P8, P16):

Duole plus 8 Punktierung

Folgendes Beispiel (im Metrum 2*2*3*1/16) zeigt o.e. Problem, dass durch die Einführung einer "Abkürzenden" Proportion ein Nenner zur E-Schreibbar-Machung eines Transformationsergebnisses ("Punktierung") zunächst vereinfacht wird, er aber auf tieferer Gliederungsebene doch wieder in seiner komplexeren Form auftritt, was die Einführung einer zweiten, die erste ausgleichenden Proportion nötig macht.
Es zeigt sich hier wieder das Problem des "Aufschaukelns" der Proportionen, wie schon
im Vorgängerartikel diskutiert , da die Achteltriole der letzten Zeile sich "natürlicher" liest in Verbindung mit der vorangehenden punktierten Halben, aber der Ausgangs-Schreibweise deutlich widerspricht:

5/6 Elterknoten und Kindknoten e-schreibbar

^Inh 5.4 Beispiele für die höheren Spontanen Ausnahmen

Die größer-zahligen der Spontanen Ausnahmen (siehe obige Multiplikationsmatrix) spielen praktisch wohl keine Rolle: Zunächst ist die doppelte Punktierung e-schreibbar, wenn die Grunddauer neun(9) beträgt, wegen 7*9=63=64-1.

36/32, vier mal neun, mit doppelter Punktierung

Weiterhin sind alle Faktoren 2^n anwendbar (für Hemiolen, Geschwister, etc.) wenn die Grunddauer als ungeraden Anteil genau 2^n-1 enthält, also sieben(7) oder gar fünfzehn(15=3*5). Aus historischer Sicht ist dies wiederum der oben erwähnte "Missbrauch" der Punktierung, wird aber von metricSplit durchaus gefunden und für systematisch erachtet.
(Ganz unabhängig davon gibt es allerdings einen Stilparameter boolean syncope_longer_4, um die Fünfer-Synkopen wegen Ergonomischer Zweckmäßigkeit grundsätzlich auszuschalten.)

45/32, Grunddauer 5 erlaubt Hemiolen, etc.

^Inh 6 Danksagung

Wie bei allen Teil-Projekte, die in unsere gemeinsame Musik-Software BandM Models of Music einfließen, gebührt besonderer Dank für fruchtbare Diskussionen von Theorie und Praxis meinem Kollegen Baltasar Trancon y Widemann.


1 Wofür es ja in der Mehrzahl der Stile und Notationsweisen auch keinerlei Notwendigkeit gibt: Eine ungetrennte Folge von mehr als einer Pause ist identisch mit einer Pause von der Dauer der Summe derer Dauern. Andererseits setzt der Verfasser auch in ganz "konventionellen" Kontexten manchmal einen Betonungs-Keil auf eine Pause, was bedeuten soll "betont pausieren", oder "Klang-Ende scharf konturieren". Wenn auch eine Pause nach einer Pause derartige Attribute tragen könnte, gilt diese Gleichung nicht mehr!

2 Es mag fast scheinen dass das Finale von op. 111 von Beethoven genau diese Unendlichkeit re-definieren will, als ebenso unbegrenzt fortsetzbar, aber nicht mehr als Zwei- sondern nun als Drei-Teilung, als eine "perfekte".

3 Dies ist deshalb unproblematisch, weil in den meisten praktisch/historisch tatsächlich auftretenden Fällen diese Gestalten zusätzlich durch Kleinstich hervorgehoben und so explizit als aus dem metrischen Kontext herausgenommen gekennzeichnet werden.

4 Es sind andere Regelsystem denkbar, die auch ihre Vorteile haben, z.B. statt diesen Abschnitt, Liste 2, Listenpunkt 4:
"Die Differenz aus einer expliziten Dauer des Elterknotens und der Summe aller Kindknoten MIT einer Dauernangabe muss positiv sein und wird auf alle Kindknoten OHNE eine Dauernangabe gleichmäßig aufgeteilt." Aber da derartige Regeln ja auch dazu dienen, Flüchtigkeitsfehler zu entdecken, ist eine gewisse Partialität durchaus ergonomisch gewünscht.

5 ...oder wenn er weitere Information in Form von beigefügten Parameterwerten trägt, z.B. Lautstärkeänderungen oder Spielvorschriften. Von derartigen problematischen Mischformen der Notation wird, wie oben erwähnt, im gesamten Artikel abgesehen!

6 Diese Art der Vordergrund-Schreibweise ist u.E. die einzige mathematisch konsistente und auch psychologisch zweckmäßige. Leider sind in der Praxis viele abweichende und ungeeignete Versuche der Notation verbreitet, siehe die ausführliche Diskussion im Vorgängerartikel.

7 An den Rändern gilt das in der Praxis nicht, da es z.B. in den meisten modernen Zeichensätzen kein Grundsymbol kürzer als die 128tel-Note gibt, oder nichts länger die "Brevis". Das bedeutet aber keine prinzipielle Grenze, und davon wird im folgenden abstrahiert.

8 Normalerweise treten dann mindestens zwei (>=2) der Kindknoten notationell in Erscheinung, man beachte aber die möglichen Konsequenzen von Stilparameter merge_may_cross_bracket_limit==true, s. Abschnitt 2.15.1.

9 In der Tat würde schon 3*(1/4) reichen, um SM-48 und SM-84 auszuschließen, da Phase zwei/Div ja nur unterhalb der explizit angegebenen Blätter des MTS arbeitet, siehe Abschnitt 2.13. Das ändert jedoch nichts am prinzipiellen Problem, wie es bei MTS=1/1 auch aktuell wird.

10 Höherzahlige Teilungen sind Chopinesque, haben also nur eine flache Hierarchie, und alle Knoten sind Geschwister. Die Knoten dieser oberste Teilungsebene können allerdings ihrerseits zweigeteilt sein, das heißt unter ihnen können Synkopen und Punktierungen durchaus auftreten, -- wieder ein Beispiel für Kompositionalität.

11 Pausen unterhalb der Zählzeit werden in neuerer Praxis allerdings auch synkopiert, z.B. nach dem Muster synkopierte Achtelpause
[[Dies ist zur Zeit noch nicht implementiert.]]

12 Genau genommen kann die Information "isFirst" am Wechsel der Ereignisnummer erkannt werden, und "isLast" an einem parallelen Aufaddieren der Dauern. Aber da beides im Visitor schon bekannt ist, wäre das recht uneffektiv.


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