1          Einleitung
1.1          Kontext dieser Arbeit
1.2          Die Wichtigkeit des "Mittelgrundes"
1.3          Problemstellung
2          Struktur der metrischen Notation
2.1          Entstehung der Notenwerte in der Mensuralnotation
2.2          Der Takt als Zusammenfassung von Aktionen
2.3          Die historische Herkunft der Grunddauernwerte
2.4          Metrik als Zusammenfassung von Grundschlägen
2.5          Die drei Organisationsbereiche der metrischen Notation
2.6          Verschiebung der Grenzen der Organisationsbereiche
2.7          Die "mentale Einfachheit" von Empfindungsfolgen
2.8          Die innere Hierarchie eines Taktes
2.9          Weitergehende Komplizierung der metrischen Raster
2.10          Umrechnung in Taktbezeichnungen
2.11          Interpretation von konventionellen Taktart-Angaben z/n
2.11.1          Konventionelle Bedeutung der Taktbezeichnungen aus 2^a*3^b
2.11.2          Primfaktoren größer drei und additiv begründete Zähler
2.12          Wechselnde Metren
3          Dauern im Kontext metrischer Notation
3.1          Dauern und ihre Darstellung
3.1.1          Auswirkungen der n-olen im Mittelgrund
3.1.2          Mehrdeutigkeiten der Vordergrund-Repräsentation von n-olen
3.1.3          Kompliziertere n-olen
3.1.4          Verselbständigte n-olen
3.2          Algorithmen zur metrisch korrekten Notation von Rhythmen
3.3          Die gewichtsbasierten Algorithmen
3.4          Balkengruppen in lilypond
3.5          Nur nicht-lokal lösbare Probleme
3.6          Unser Vorhaben eines graphbasierten Algorithmus'
4          Bibliographie

^{^Inh} 1 Einleitung

^{^Inh} 1.1 Kontext dieser Arbeit

Das tScore-Projekt, vorangetrieben im Rahmen der BandM-Musik-Software [bandmMusic] , ist ein Forschungs- und Entwicklungsvorhaben einer Mensch-Maschine-Schnittstellensprache zur adäquaten Denotation beliebiger zeitbezogener Ereignisfolgen. Es beinhaltet als einen kleinen Teilbereich die Generierung von visueller Notenausgabe durch Ansteuern von Notensatz-Software wie lilypond [lilyPond] oder musix-TeX [musixtex].
Ein wichtiger Schritt dabei ist die Umsetzung abstrakt gegebener Dauernfolgen, wie sie von tScore ja in prinzipiell beliebiger Codierung erzeugt und verarbeitet werden können, in Folgen von rhythmischen Werten der musikalischen Notenschrift. Diese Übersetzung kann nun mitnichten "lokal" und "eins-zu-eins" erfolgen, sondern muss vielmehr einem sogenannten Metrum entsprechen, welches im System konventioneller musikalischer Notierung stets vorher ausgewählt werden muss, um dann der gewünschten Notendarstellung zu Grunde zu liegen.

Die Aufgabe dieser Übersetzung ist mitnichten trivial, und überraschenderweise in der wissenschaftlichen Literatur offensichtlich weitgehend unbearbeitet. Zu dem wenigen, in dem sie zumindest als eine unter vielen behandelt wird, gehört die Dissertation "Code-basierte Generierung interaktiver Notengraphik" von Martin Gieseking, [gieseking] , die auch in anderen Kontexten schon Berücksichtigung fand, z.B. wegen ihres sehr nützlichen einführenden Teiles (siehe senza tempo 20120701 00 und 20120822 00 )
Die Hauptteile dieser Arbeit bilden Ausführungen zu algorithmischen Lösungen folgender Notationsprobleme: (a) der korrekten Notation von Rhythmen bei gegebenem Metrum, (b) der horizontalen Positionierung von Akkordgruppen und ihren Bestandteilen, und (c) der graphischen Konstruktion von Balken und Bindebögen.
Die Ausführungen zu (a) sind es, die hier interessieren, und diese gehen dabei zurück auf Teile der Dissertation Music Notation by Computer von Donald Alvin Byrd aus dem Jahren 1984, [byrd] .

Beide Autoren entwickeln einen Algorithmus, den wir im folgenden als gewichtsbasiert bezeichnen, da er eine lineare Abbildung von taktrelativen Zeitpunkten zu metrischen Gewichten zur Grundlage aller Entscheidungen macht.

Im Gegensatz dazu planen wir für tscore einen Algorithmus mit deutlich breiterem Anwendungsgebiet zu definieren, der z.B. die von beiden Autoren geforderten "lokalen Metren" behandeln kann, und der graphbasiert sein wird, also grundlegend anders aufgebaut. Dennoch ist eine ausführlichere Analyse der gewichtsbasiereten Algorithmen, ihrer Ziele, Ergebnisse und Prämissen, sehr gewinnbringend, und bildet mit Abschnitt 3.3 den eigentlichen Zielpunkt dieser Arbeit.

Außerdem werden die Ansätze in der lilypond-software besprochen, Abschnitt 3.4, wo zwar keine automatische Dauernübersetzung stattfindet, aber Bebalkung automatisiert und sehr weitgehend parametrisierbar ist.

Der Hauptteil dieser Arbeit jedoch ist eine grundlegende und umfassende Darstellung des Problems selbst, für Musiker und Nicht-Musiker geeignet, da wir feststellen mussten, dass selbst über die grundlegenden Strukturen und Begrifflichkeiten zwar diffuses Vor-Wissen und praktische Erfahrung weit verbreitet ist, aber eine exakte Diskussion und Begriffsklärung kaum je stattgefunden hat.

^{^Inh} 1.2 Die Wichtigkeit des "Mittelgrundes"

Beide Beiträge, der ursprüngliche Ansatz von Byrd, und seine Adaption durch Gieseking, haben große Verdienste, aber auch natürlicherweise enge Grenzen, da sie nur einen Teil der jeweiligen Gesamtarbeit ausmachen.

Die verschiedenen bei beiden Autoren auftretenden und unterschiedlich stark störenden Unzulänglichkeiten lassen sich vielfach auf einen Kardinalfehler zurückführen, der allerorten in der musikwissenschaftlichen und besonders musiktheoretischen Literatur anzutreffen ist, und den es deutlich aufzuweisen und zu vermeiden gilt, nämlich auf die Verwechslung von Vordergrund und Mittelgrund.

Unter "Mittelgrund" verstehen wir dabei Begriffsnetzwerke, Strukturen, Regeln, Logiken, Materialien, die sich zwar oft, aber eben nicht immer, in Notationen des "Vordergrundes" ausdrücken, fixieren und vermitteln lassen, aber nicht nur mit diesen nicht zusammenfallen, sondern vielmehr wesensmäßig auf ewig und inkommensurabel von ihnen getrennt sind.

So ist z.B. die Menge aller rationalen Zahlen ein mögliches "Mittelgrund"-Modell von musikalischen Dauern. Dies steht zu der Menge von graphischen Bestandteilen von Notenzeichen, welche in Musikniederschriften Dauern bedeuten, zwar durchaus in Beziehung, ist aber offensichtlich mit dieser keinesfalls wesensgleich.
Wem diese Unterscheidung haarspalterisch vorkommt, sei versichert, dass sie in der Informatik, ja, in aller reflektierend arbeitender Mathematik (z.B. Darstellungstheorie, Modelltheorie, Logik) unbebstrittene Arbeitsgrundlage ist. Die wohlbekannte und ubiquitäre Unterscheidung zwischen "Syntax" und "Semantik" beim Entwurf einer Computersprache kann durchaus als Beispiel von Vorder- und Mittelgrund verstanden werden.

Hat man dies einmal akzeptiert, beachte man weiterhin, dass die Abbildungen zwischen Vordergrund, z.B. Notation, und Mittelgrund weder rechts- noch links-eindeutig noch -vollständig sein müssen. Die Beziehung zwischen beiden ist vielmehr äußerst kritisch und kritikwürdig, im Sinne von "Kritik" als notwendiger vorangehender wissenschaftlicher Analyse.
Die meisten Fehler, aber auch Mißverständnisse, im musiktheoretischen Diskurs enstehen u.E. aus der Verwechslung dieser beiden Bereiche und der fehlenden Problematisierung der zwischen ihnen vermittelnden Übersetzungsfunktionen. ¹

Wichtig ist weiterhin, dass der Mittelgrund immer nur Modelle beinhaltet, die für bestimmte Zwecke konstruiert werden und für nur für diese, oder für diese und wenige ausgewählte andere, dann auch verwendbar sind. Ein auf den Vordergrund einer bestimmten Notationsweise bezogenenes Mittelgrundmodell kann z.B. psycho-interne Prozesse des Musiker in einer Konzertsituation abbilden wollen, ein anderes die Raumaufteilung der Notenzeilen nach druck-ästhetischen Kriterien und eingebautem Rauschen, ein drittes die harmonischen Prozesse nachbilden, zwecks möglichst einfacher Vergleichbarkeit. Offensichtlich fundamental verschiedene "Lesungen" derselben Vordergrundgestalt. Bei jedem Modell ist folglich explizit zu fragen, was es kann und was nicht.

Zuletzt sei noch empfohlen derartige Mittelgrund-Modelle möglichst mit mathematischen Methoden zu bauen. Diese erlauben die Verwendung wohlerforschter Standardverfahren, ohne dass man das Rad stets neu erfinden muss.

Um also im folgenden nicht nur über Notation als Vordergrundphänomen zu reden, oder den Mittelgrund implizit und verwaschen mitdenken zu müssen oder mit dem Vordergrund zu verwechseln, konstruieren wir also als dessen wichtigstem Bestandteil zunächst explizit ein mathematisches Modell von Metrik.

Um dazu den Zugang zu erleichtern geht dem wiederum voraus eine kurze Schilderung der historischen Entwicklung, da diese, wegen der Spuren, die sie in Strukturen, Benennungen und Schreibweisen hinterlassen hat, den unvorbereiteten Leser duchaus geeignet ist zu verwirren.

Nach einer kurzen Vorstellung des Problems als solchem wird zunächst der Kontext der Fragestellung genauer entwickelt. Zu bestimmen Einzelfragen, die hier nicht in aller Ausführlichkeit behandelt werden können, werden wir auf unsere Übersichtsarbeit senza tempo 2012070100 --- Synopsis of Musical Notation Encyclopedias zurückverweisen, resp. auf die dort vorgestellten Arbeiten, und auch direkt in das dortige Literaturverzeichnis linken.

^{^Inh} 1.3 Problemstellung

Das Problem ist eines im Rahmen der taktbasierten Notation, auch genannt metrische Notation, wie sie sich im siebzehnten Jahrhundert aus der Mensuralnotation entwickelte, bis heute weiterentwickelt wurde, und bis heute verwendet wird. Sie wird auch genannt "CWN", "common Western notation" oder "conventional Western notation".

Die Problemstellung besteht darin, dass eine Folge von musikalischen Dauernwerten je nach ihrer Position im Takt unterschiedlich notiert werden soll. Dies, um die verschiedenen Gliederungsebenen der metrischen Hierarchie, die sehr verwickelt werden können, durch die Wahl der Notation möglichst deutlich werden zu lassen, um bequemes Lesen zu ermöglichen, z.B. fürs prima-vista-Spiel.

Es ist in mehrfacher Hinsicht wünschenswert, diese Entscheidungen als mathematische Funktion exakt zu notieren. So z.B. zum Zwecke der Algorithmisierung und automatischen Ausführung durch einen Rechner, aber auch um vergleichende Diskussionen auf eine exaktere Grundlage zu stellen.

Bei diesem Versuch stößt man schnell auf grundlegende Probleme:

Erstens ist die fundamentale Strategie für diese Entscheidungen mit Epoche, Stil und Genre durchaus variabel: Manches, was für Brahms-sche Kammermusik möglich ist, ist bei Militärorchester zumindest ungewöhnlich, was für ein Barockes Menuett ausreicht, reicht nicht für eine Jazz-Big-Band, etc. Die Funktionsdefinitionen müssen also entsprechend parametrisierbar sein.

Zweitens ist das metrische System der CWN selbst historisch gewachsen. Zwar wird es innerhalb je eines dieser sehr verschiedenartigen Verwendungsgebiete meist hinreichend konsistent verwendet. Aber auch derartig eingeschränkt ist es weder durch systematische Ableitung entstanden noch restlos systematisch definierbar.

Drittens gilt das verstärkt auch von der "Vordergrundgestalt" der Notation: Selbst wenn die möglichen Mittelgrund-Strukturen (so z.B. metrische Hierarchien, Taktarten, n-olen) systematisch erzeugbar sind, so existieren dennoch nicht für alle davon überhaupt Entsprechungen in der Vordergrundgestalt, also Zeichen, um sie aufzuschreiben.

Eine vollständige Lösung des Hauptproblems, der algorithmischen Berechnung von korrekter Notation von Rhythmen bezogen auf eine gegebene metrische Struktur, scheint aus den genannten Gründen weder möglich noch sinnvollerweise anzustreben. Wir verweisen auf [byrd] , wo derartige Ambitionen mit gleichermaßen überzeugender wie kurzweiliger Argumentation ausführlich zurückgewiesen werden. Ein mathematischer Ansatz kann aber durchaus weiter gehen als das in [gieseking] als "Stand der Technik" dargestellte
Insbesondere sollten die Möglichkeiten von Parametrisierung, punktuellen Lizenzen und Nach-Bearbeitung in systematischer Weise erforscht und dargestellt werden.
Zu all diesen Zwecken entwerfen wir nun, wie angekündigt, erst einmal ein Modell der Mittelgrundstruktur von musikalischer Metrik.

^{^Inh} 2 Struktur der metrischen Notation

^{^Inh} 2.1 Entstehung der Notenwerte in der Mensuralnotation

Die Vorläufer-Notation der metrischen Notation war die "Mensural-Notation". Wir geben hier eine sehr stark vereinfachte Darstellung, die lediglich ausreichen soll, den historischen Kontext und seine Konsequenzen für die CWN zu erläutern. Die sich über Jahrhunderte hinziehende Entwicklung dieser Notation wird eingedampft auf ihre Grundprinzipien. Für eine gute Einführung siehe [mggprisma] .

Die Mensural-Notation kannte die Teilung der Zeit auf verschiedenen Ebenen, die hierarchisch übereinandergeschichtet sind. Prinzipiell kann jede Note einer bestimmten Ebene in zwei(2) oder in drei(3) gleichlange Noten der nächst tieferen, also nächst schnelleren Ebene unterteilt werden. Diese Teilungsart wird je Teilungsebene zu Beginn des Werkes festgelegt und gilt grundsätzlich gleichermaßen für alle Noten dieser Ebene (abgesehen von punktuellen, explizit zu notierenden Ausnahmen). Die Teilung durch drei heißt perfectum, die durch zwei(2) imperfectum. Die Teilungsebenen hießen z.B. (in den meisten historischen Ausprägungen) "modus", "tempus", "prolatio", so dass beliebige Kombination der Unterteilungshierarchie definierbar waren, wie "modus perfectus, tempus imperfectum, prolatio perfecta", als Teilungsfolge 3-2-3 der "longa" genannten Note. Diese Hierarchie von Teilungen wird zu Beginn des Werkes angegeben. So bestimmt sie die Ausführung der verschiedenen Notenlänge und die Verhältnisse der verschiedenen Teilungsebenen. (Daneben können ad-hoc "Proportionen" auftreten, die diese Grundteilung für kurze Zeit modifizieren, oder es kann auch innerhalb eines Satzes dauerhaft von einer Teilungsart in eine andere gewechselt werden.)

Diese Notation wurde bis zum siebzehnten Jahrhundert verwendet für geistliche Kompositionen, die (meist ohne Instrumentalbegleitung) von hochspezialisierten Sängern aufgeführt wurden. Zu deren Ausbildung gehörte u.a. das korrekte Teilen der Dauern auf den verschiedenen Notationsebenen, nur nach Zeitgefühl und prima vista. Die dabei hervorzubringenden Rhythmen konnten (besonders unter Verwendung o.e. "Proportionen") in der Spät- und Niedergangszeit dieser Kultur (sog. "manierierte Notation") ein Maß an Komplexität erreichen, welches selbst heutigen Rhythmus-Spezialisten und professionellen Neue-Musik-Schlagzeugern Angst und Ehrfurcht einflößt.

Bei all dieser Artistik, bei Notation, Systematisierung und philosophischem Überbau, ging es aber allemal um Gesang und um divisive Prozesse.

^{^Inh} 2.2 Der Takt als Zusammenfassung von Aktionen

Takt hingegen ist etwas ganz anderes, ja, fast als "Gegenteil" auffassbar!

Der Takt kommt bestenfalls aus dem Tanz, schlimmstens aus dem Marsch, allemal aus der Bewegung, und besteht darin, dass eine Folge von (fast immer fast gleich-langen) sich wiederholenden Grund-Einheiten, sog. "Schläge" / "Zählzeiten" / "beats", zu einer Einheit zusammengefaßt werden, eben dem "Takt" / "measure". Diese Schläge werden dann innerhalb dieses Taktes als "erste Zählzeit", "zweite Zählzeit", etc. durchnummeriert, und verkürzend bezeichnet wie "die Eins von Takt 16".

Ein gesamtes Musikwerk wird dann aufgefasst und notiert als eine Folge von gleichartig strukturierten derartigen Takten.

Wichtig ist, dass allen diesen Komponenten, der Zählzeit, dem Takt und dem Vorgang der Gruppenbildung, konkrete mentale Mechanismen beim Musizieren entsprechen: Die Zählzeiten werden empfunden und die gespielten Ereignisse relativ zu diesen Empfindungen ausgelöst; die Takte werden durch vor-bewußtes unterschiedliches "mentales Einfärben" der Zählzeiten wirksam; oberhalb der Takt-Ebene orientiert man sich durch Lenken der Augen auf die geschriebenen Noten, oder durch nun bewußtes Zählen, etc.

Die Taktbasierung der CWN hat also gleichermaßen philosophische und mathematische, aber auch musikantisch-praktische Aspekte, die wir im folgenden alle sowohl zu berücksichtigen als auch zu scheiden versuchen.

Die einfachste Verdeutlichung ist ein einfaches Tanz-Schema, wo jeder Schlag einem Schritt entspricht, und die an derselben takt-relativen Position stehenden Schritte gleich ausgeführt werden, also von Takt zu Takt gleich sind, aber innerhalb des Taktes verschieden:

Takt        1                 | 2                 | 3
Zählzeit    1     2     3     | 1     2     3     | 1     2     3    
              _________________   ________________    ________________
             /                 \ /                 \ /
Aktionen:   A                 | A                 | A            
                  B           |       B           |       B
                    \_________|______/ \__________|______/ \___________
                        C     |             C     |             C
                         \____|____________/ \____|____________/ \_______
                              |                   |

Diese Funktionsunterschiede der Zählzeiten gibt es ähnlich auch schon in der oben beschriebenen Mensuralnotation und ihrer Musik, als auf ausgewählten Ebenen der Teilung die "schwere" und die "schwache" Zeit unterschieden wurde, und bestimmte harmonische Ereignisse beim Komponieren nach diesen Kategorien verteilt werden mussten.

Bei der metrischen Notation hingegen werden die Funktionsunterschiede besonders für die Ausführung wichtig: Die einzelnen Zählzeiten bekommen sehr feine, aber durchaus unterschiedliche Unterschiede in den Lautstärken, und auch ihre Dauer und Tonform wird in den meisten musikalischen Stilen auf sehr subtile, aber wirksame Weise je Zählzeit modifiziert. So werden z.B: die Ereignisse, die auf Zählzeiten fallen, etwas stärker betont, und unter diesen wiederum die, die auf die ersten Zählzeiten der internen hierarchischen Gruppen fallen, (s.u. das konkrete Beispiel in Abschnitt 2.7).

Diese Einfärbungen der Zählzeiten wiederholen sich grundsätzlich mit jedem Takt. Die konkreten Ausführungen dieser Einfärbungen werden als Teil der Agogik bezeichnet; ein davon abstrahiertes theoretisches Modell nennt man metrische Gewichtung oder metrisches Raster oder metrisches Schema.

Die konkret gespielten Rhythmen "verhalten sich zu" diesem, oder gar "gegen dieses" metrische Raster. Zumeist stehen die konkrete erklingenden Ereignisse nicht auf den gedachten Zeitpunkten der Zählzeiten, sondern dazwischen, und oft erklingt garkein neuer Anschlag auf einer Zählzeit. Die Struktur des Erklingenden kann sich im Verlaufe eines Werkes vom metrischen Schema entfernen und sich ihm wieder annähern. (Genau dies verursacht ja erst das Grundproblem dieser Untersuchung !-) Das metrische Schema färbt aber allemal die Ausführung und Empfindung der notierten Ryhthmen, wenn auch in unterschiedlicher Weise und verschiedenem Grad, je nach gerade erklingendem Rhythmus und nach dem "gelernten" Kontext vorangehender Takte.

Wichtig ist in unserem Zusammenhang, dass der musikalische Denk- und Produktionsvorgang bei der Taktbildung ein additiver ist: Ereignisdauern (und damit Notenwerte) werden zum Takt zwecks Gruppierung zusammengefasst. Dies zeigt sich deutlich bei Taktarten von schnelleren Volkstänzen, die Zählzeiten in ungleichen Gruppen zusammenfassen, wie "zwei-plus-zwei-plus-drei", was nicht mehr rein durch Division abgeleitet werden könnte.

^{^Inh} 2.3 Die historische Herkunft der Grunddauernwerte

Ein erstes Verständnisproblem der CWN besteht nun in der Auswahl und Benennung der für Dauernwerte verwendeten Grundzeichen. Dieses Problem ist ein rein theoretisches, notationstechnisches, und ist darin begründet, dass (naturgemäßer- und zweckmäßigerweise) im Laufe der historischen Entwicklung die mit dem divisiven Denken der Mensuralnotation entwickelten Notensymbole beibehalten wurden und benutzt, um schrittweise die neue, tatkbasierte, additive Notation zu konstruieren. ² Es ist aber durchaus geeignet, den Leser zunächst zu verwirren, und soll deshalb hier kurz angesprochen werden. Aussderdem ist es ein anschauliches Beispiel, wie mathematische Mittelgrund-Modelle und historische Vordergrund-Entwicklung auseinanderfallen können.

Der historische Prozess war, stark vereinfacht, folgender:

Meist wurde, weil sie so praktisch zu schreiben ist, die Note "Semi-Minima" gewählt, um einen(1) Grundschlag darzustellen. Meist wurden 4(vier) dieser Grundschläge für einen Takt benötigt, der in diesem Fall (aber in keinem andern!) die Länge der "Semi-Brevis" bekommt, im Sinne von zwei "imperfekten" Teilungsebenen.
Demzufolge wurde die "Semi-Brevis" als "Ganze" / "Ganze Note" bezeichnet, nämlich als "die, die einen ganzen Takt dauert". Die Zählzeit in erwähntem Falle, das Notensymbol der Semi-Mminima, nennt man folglich "Viertel", da nämlich vier(4) von ihnen dem "ganzen Takt" entsprechen, also der Dauer der "Ganzen Note".

Die Wortbezeichnungen "Ganze" und "Viertel" als Dauernangaben wurden nun aus diesem Zusammenhang abstrahiert und eingefroren, und geben immer, in jedem Taktzusammenhang, korrekt die gegenseitige Längen- oder Dauern-Proportion dieser beiden Notensymbole wieder. Als Wortbildung jedoch (warum die "Ganze" so heißt, etc.) sind sie aus obiger Anwendungssituation zustandegekommen, die nur als "zufällig" bezeichnet werden kann. Die "ganzen Takte" der meisten heute üblichen Taktarten dauern mitnichten eine "Ganze" / "Ganze Note"!

Dieser (zunächst rein historische) Widerspruch wird offen sichtbar (wird gleichsam "materiell") in vielen Regelwerken zur Notenschrift, welche für Pausen, die einen "ganzen" Takt dauern, das Symbol der "ganzen Pause" vorschreiben (das ja im Sinne des nächsten Absatzes der Länge 1/1 entspricht), auch in allen Fällen wo die Taktlänge kürzer ist [wanske, , S. 65 und 123].
Diese Pause wird darüberhinaus, anders als alle anderen, in die "geometrische" Mitte des Taktes geschrieben, unabhängig von etwaigen Rhythmen in parallelen Stimmen und der durch sie begründeten Raumverteilung.
(Diese nur historisch verständliche Sonderrolle der Ganz-Takt-Pause wird allerdings in der zeitgenössischen Notation mehr und mehr aufgegeben zugunsten der "normalen", dauernrichtigen und vertikal "normal" ausgerichteten Schreibweise.)

Wenn man dies als "historische Diagonale" bereit ist zu ignoriern, ist das Benennungssystem dennoch sinnvoll: In der mathematischen Formulierung gibt man der Dauer der "Ganzen Note" den Zahlenwert "1", und kann alle abgeleiteten Dauern durch rationale Zahlen repräsentieren, die "Viertelnote", die alte "Semi-Minima", ist dann einfach die Dauer "1/4".

Die Benennung der Viertelnote ist also ebenso zufällig wie die der Ganzen.

Das divisive Prinzip der Mensuralnotation wird weiterhin übernommen, aber eingeschränkt auf die Teilung durch zwei(2). Die Grunddauern der CWN, also die, die ohne weitere notationelle Zusätze mit einem einzigen einfachen Zeichen darstellbar sind, ergeben sich durch fortgesetzte Teilung durch den Faktor zwei(2), ausgehend von der "Brevis", welche, da die "Semi-Brevis" ja zur "Ganzen" wurde, in der Repräsentation als rationale Zahl mit dem Wert "zwei(2)" dargestellt wird.

Als Grunddauern ergibt sich also eine Folge (meist negativer) Potenzen von zwei(2); nämlich 2=Brevis, 1=Ganze, 1/2=Halbe, 1/4=Viertel, 1/8=Achtel, 1/16=Sechzehntel, etc., normalerweise bis 1/128, siehe unten Abschnitt 3.1.

^{^Inh} 2.4 Metrik als Zusammenfassung von Grundschlägen

Die genaue Art und Weise der Zusammenfassung zu b) kann sehr komplex werden, ist das eigentliche Feld unserer Analyse, und wird weiter unten genauer betrachtet, siehe Abschnitt 2.8.

Auf diese Weise werden Taktarten definiert, die (in den meisten Fällen, aber nicht immer!) durch eine Angabe bezeichnet werden, die einem mathematischen "Bruch" ähnelt: Oben steht die Anzahl "n" der Zählzeiten, unten steht der Nenner des Grundschlages. Häufige Taktarten sind 4/4, 2/2, 3/4, 6/8, es sind aber auch möglich 4/2, 2/1, 3/8, 5/4 und 7/16.
Man beachte, dass dies keine rationalen Zahlen sind, und keinesfalls "gekürzt" werden dürfen: Die Taktart "6/8" ist etwas ganz anderes als "3/4".

Bei jeder gegebenen Taktart hat ein Takt eine bestimmte Taktlänge. Dies ist eine rationale Zahl, die sich aus dem Produkt der Länge des Grundschlages und dessen Anzahl je Takt ergibt. So haben 6/8-Takt und 3/4-Takt beide die Taktlänge 3/4.

Am Beginn jeden Werkes wird die Taktart angegeben. Innerhalb des Werkes können Taktwechsel vorkommen: Mit Ablauf eines Taktes kann für die folgenden Takte eine neue Taktart angegeben werden, die ab dann gilt, ggfls. bis zum nächsten Taktwechsel..

Jede notierte Stimme eines Werkes muss in jedem einzelnen Takt eine (ununterbrochene, nicht-überlappende) Folge von Ereignis-Symbolen (Spielereignisse oder Pausen) enthalten, so dass die Summe deren Dauernwerte gleich ist der Taktlänge der für diesen Takt gültigen Taktart (der "momentan gültigen" Taktart). ³ Der erste Takt eines Werkes kann kürzer sein als von der Taktart gefordert. Man nennt diesen einen "unvollständigen Takt" oder "Auftakt". In der Zählung der Takte wird er dann meistens nicht berücksichtigt. Im klassisch-romantischen Stile, wenn der Abstand zwischen ihnen nicht allzu groß ist, ist oft der allerletzte Takt des Satzes auch unvollständig und ergänzt sich mit dem allerersten zur geforderten Dauer.

^{^Inh} 2.5 Die drei Organisationsbereiche der metrischen Notation

    Taktgruppen ("Groß-Metrik"/"Periodik")
                   | X                                                             | X
                   |                                                               |  
                   | X                                           | X               | X 
    ---------------------------------------------------------------------------------
    Takt (6/4)     | X                   | X                     |        |        |
                   |                     |                       |        |        |
                   | X         X         | X          X          |        |        |
                   |                     |                       |        |        |
    Zählzeit       | x  x  x   x  x   x  | x  x  x    x  x  x    |        |        |
    ---------------------------------------------------------------------------------
    Rhythmus       | x  xx xxxx   xxx x  | x     x  x       x x x|        |        |
                   |                     |       xx xx        xx |        |        |

Diese Ebene ist meist in der Notation garnicht präsent. Eine berühmte Ausnahme sind die expliziten, hinzugefügten textuellen Interpretationsanweisungen "RITMO DI TRE BATTUTE" / "RITMO DI QUATTRO BATTUTE" im Scherzo der Neunten Sinfonie, welche bestimmte metrische Gruppierungen der Takte fordern. Dies kann als Beispiel für eine "Grenzverschiebung" gesehen werden, siehe Abschnitt 2.6. Entspricht die Reaktion unseres Hörverstandes bei der Rezeption derart gruppierter sehr schneller Drei-Viertel-Takte hier nicht viel eher dem, was man als "9/4" oder "12/4" notieren müsste?

Unterhalb der Zählzeit kann diese weiter unterteilt werden, und das Ergebnis davon seinerseits geteilt, --- theoretisch unbegrenzt fortsetzbar. Die dafür nötigen Dauern-Zeichen und das Teilungsverfahren sind aus der Mensuralnotation übernommen, siehe oben Abschnitt 2.3 und weiter unten Abschnitt 3.1. Dabei ist die Standard-Unterteilung jeder Ebene stets die durch zwei(2). Jedoch gibt es Notationen, die diese Unterteilung ersetzen durch eine in "n" gleiche Werte, wobei n keine Zweierpotenz ist. Diese heissen "Triole" bei der Teilung durch drei statt durch zwei, "Quintole" durch fünf statt durch vier, etc.

^{^Inh} 2.6 Verschiebung der Grenzen der Organisationsbereiche

Nennen wir "mentale Zählzeit" die notierte Dauer, welche Musiker, Hörer und Tänzer als Impuls empfinden, in der sie "zählen", und die nach obiger Darstellung die psychisch-physiologische Grundlage der Taktdefinition ist. Dann müsste im CWN-System, wenn diese Zählzeit ausschließlich (oder zumindest überwiegend) in drei Teile geteilt werden soll, diese jedesmal mit einer "Triolenklammer" versehen werden, da Teilungen durch drei im Organisationsbereich unterhalb der Zählzeit nicht anders darstellbar sind (s.u. Abschnitt 3.1).
Um diese umständliche Schreibweise zu vermeiden, wird dieser kürzere Notenwert zum "Nenner" der Taktangabe gemacht, und der Faktor "drei" dem "Zähler" der Taktangabe einmultipliziert. Es wird also die "notationelle Zählzeit" eine Teilungsebene eine Ebene feiner als die "mentale" gewählt, um die Triolenklammern zu sparen. Als Konsequenz ist die Dauer der mentalen Zählzeit hier keine Grunddauer, sondern eine "punktierte Dauer".

Ist der Takt im mentalen Sinne z.B. ein "Drei-Viertel-Takt", der konkret gespielte Rhythmus (im Organisationsbereich unterhalb der Zählzeit) würde aber fast immer die Teilung durch drei verlangen, dann ist es zweckmäßig, als notierten Takt einen "Neun-Achtel" zu wählen. Der mentale Grundschlag ist dann nicht die Achtel, sondern die "punktierte Viertel", die aus drei statt zwei Achteln besteht (s.u. Abschnitt 3.1), der nominelle Grundschlag ist die Achtel.

Das dies ein "gezielter Fehlgebrauch" ist wird besonders deutlich, wenn nur eine von mehreren Stimmen zum Zwecke einfacherer Notation die Taktart wechselt:

Umgekehrt kann auch die oberste Gliederungsschicht der eigentlich gemeinten Taktart aus dieser herausgenommen und stattdessen als "Gruppierung von Takten" notiert werden (Beethovens Neunte, Scherzo, wie oben erwähnt.) In extrem schnellem Tempo wird sogar der Takt als Ganzes zur mentalen Zählzeit, und die ursprünglich untere Grenze unseres Modelles wandert hoch, bis sie sich deckt mit der oberen! [gieseking, , S. 98], nennt das Scherzo aus Beethovens Fünfter Sinfonie als Prototyp.

^{^Inh} 2.7 Die "mentale Einfachheit" von Empfindungsfolgen

Im Gegensatz zu der oben in Abschnitt 2.4 vorläufigerweise gewählten vereinfachten Formulierung "b) es werden n Zählzeiten zum Takt zusammengefasst" ist vielmehr festzustellen, dass innerhalb des Taktes, also im Organisationsbereich zwischen Zählzeit und Takt, in den meisten Fällen ebenfalls eine Hierarchie herrscht!

Diese Hierarchie ist, im Gegensatz zu denen der aussenliegenden Organisationsbereiche, naturgemäß in ihrer Höhe beschränkt und durch die Taktart festgelegt. Zumeist besteht sie aus zwei, oder gar nur aus einer Teilungsebene. Der unten erwähnten "24/16" mit seinen vier(4) Ebenen ist eine extrem hohe Ausprägung.

Nennen wir eine mental einfache Teilung eine jede, bei deren Hervorbringung der Musiker tatsächlich den Eindruck von n zwar unterschiedlich gewichteten, aber dennoch linear aufeinanderfolgenden und nur auf die jeweiligen Nachbarn bezogenen und eben nicht hierarchisch gegliederten Empfindungsereignissen hat.

Die Interpretation als eine solche mental einfache Teilung ist alternativlos nur bei den Teilungsfaktoren zwei(2) und drei(3).

Schon beim Faktor vier(4) hängt es von der konkreten Gestalt des musikalischen Materials, dem Tempo, der weiteren Unterteilung, etc. ab, ob hier vier gleichberechtigt linear folgende Punkte oder eine Gliederung von zwei-mal-zwei empfunden wird (vgl. oben die Graphik in Abschnitt 2.5, wo in den unteren Zeilen eine Vierer(4)-Gruppe einmal unmittelbar unter der Zählzeit angedeutet ist, ein andermal als zweistufige Zwei-Teilung!)

Nichtsdestotrotz ist es durchaus möglich sogar eine Folge und ein wiederkehrendes Metrum von fünf(5) Zeitpunkten als mental einfach zu empfinden. Einfachstes Beispiel ist der "Doppelschlag", eine von Barock bis Romantik häufige Verzierungsfigur, die in beiden ihren Notationsvarianten (in "zeit-loser" Vorschlagsnotation, oder "aus-notiert" als Vierer- oder Fünfer-Gruppe), Varianten kennt, die einer gleichmäßigen und "mental einfachen" Empfindung von funf Anschlägen entsprechen:

Anderes Beispiel: Die Blechbläser-Fanfaren im Satz Danse Sacrale von Stravinskys Sacre:

Diese Stelle im zweiten Teil ist explizit auf Kontrast gesetzt zu dem sehr ähnlichen Motiv der Solo-Trompete aus dem ersten Teil, Zf. 26, wo sehr ähnliche fünf Noten der abwärstleitenden Chromatik deutlich unterschieden als 3+2 und 2+3 ausgeführt werden.

Gegenbeispiel ist Bruckners Vierte, Finale, wo bei der Umarbeitung der Erstfassung im Seitensatz eine doch sehr blasse Quintole ersetzt wurde durch scharf gezeichnete und wohlunterschiedene Folgen 2+3, resp. 3+2.

Auch auf der Ebene der Taktgliederung gibt es viele überzeugende, teils gar berühmte Beispiele, so der Tanzsatz aus Cajkovskijs Sinfonie Pathétique, zweiter Satz:

Eine Folge von fünf kann also sowohl als einfach, wie auch als zusammengesetzt empfunden werden, je nach Inhalt und Kontext.

Die "mentale Einfachheit" endet spätestens jedoch beim Faktor sechs(6); hier wird sich immer, zumindest nach einiger Wiederholung, entweder die zwei-mal-drei oder drei-mal-zwei Gliederung im Empfinden einstellen. Dass die Unterscheidung dazwischen sehr praktisch-musikantisch und nicht nur notationstechnisch-theoretisch ist, zeigt sich unmittelbar, wenn man versucht folgenden Rhythmus (einmal oder immer wiederholend) zu realisieren:

Wenn das Ryhthmusempfinden einmal eingerastet ist, stellt das Ganze selbstverständlich kein Problem dar. Dem Verfasser ging es allerdings so, dass, als er mit den frohgemuten Worten "Ach, das sind ja nur immer die gleichen Achtel" es ganz prima vista anging, er beim zweiten Achtel des zweiten Taktes sich merklich verhaspelte!
Es sind eben nicht immer dieselben Achtel!

^{^Inh} 2.8 Die innere Hierarchie eines Taktes

Wir gehen aus von erwähnten Grundschlägen, für die eine oder auch mehrere Dauern ausgewählt werden. In den meisten Fällen wird es nur eine(1) Dauer sein. In den meisten Fällen wird dies eine der binär geteilten Grunddauern der CWN sein, also 1/1, 1/2, 1/4, 1/8, etc. Aber nicht immer, siehe die o.e. "mentale" Zählzeit der punktierten Achtel und Viertel, Abschnitt 2.6. Sogar n-olen-Werte können Grundschläge werden, siehe Abschnitt 3.1.4.

Unterhalb dieser ("notationellen", nicht unbedingt "mentalen") Grundschläge beginnt jeweils die Sub-Hierarchie der konventionellerweise implizit immer möglichen Zwei-Teilung. Diese ist aus CWN ubernommen. Soll hingegen auf einer tieferen Ebene eine andere Teilung als durch zwei(2) herrschen, so ist diese explizit anzugeben, und der notationelle Grundschlag muss halt entsprechend eine oder mehrere Ebenen unter den mentalen gelegt werden, s.o. Abschnitt 2.6.

Die Dauer des Grundschlages wird als rationale Zahl notiert. ⁴ Ist der Zähler gleich eins(1), so kann dieser weggelassen werden.
Ist die konkrete Dauer der Zählzeit in allen Teilen des Graphen identisch konstant und im momentanen Diskussionskontext irrelevant, oder sogar noch unbestimmt, ergibt sich z.B. erst später durch Division der Gesamtdauer des Taktes, so kann diese Angabe auch ganz weggelassen werden.

Es werden auf einer ersten Ebene Anschläge dieser Grunddauer zusammengefasst zu mental einfachen Einheiten. Seien diese Einheiten z.B. drei Gruppen der Längen a, b und c, dann bezeichnen wir die Gesamtgestalt mit der Formel
a*1/n + b*1/n + c*1/n
oder auch
a*/n + b*/n + c*/n
oder auch
a + b + c

Falls alle Gruppengrößen übereinstimmen, nämlich d Gruppen der Länge e*1/n, wird dies abgekürzt zu der multiplikativen Schreibweise
d * e * 1/n
oder vereinfacht
d * e * /n oder vereinfacht
d * e

     2    2       3        3            3        3        3        3 	  
    / \  / \    /   \    /   \        /   \    /   \    /   \	 /   \	  
   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x      x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x   

   2*/8+2*/8+3*/8+3*/8              3*/8+3*/8+3*/8+3*/8 = 4*3*1/8
     2 + 2 +     3  +    3             3   +     3   +    3    +   3   = 4 * 3 

Wenden wir auf der so entstandenen Folge von Gruppen ein noch strengeres Kriterium an und nennen "einfache Folgen" nur solche Folge mit nicht mehr als drei(3) Komponenten. ⁵ Es muss nun durch weitere Zusammenfassung jede nicht-einfache Folge von Anschlagsgruppen überführt werden in eine Folge von einfachen Folgen von Anschlagsgruppen:

       2               2                    2                 2
      /  \          /    \                /    \            /    \
     2    2       3        3            3        3        3        3 	  
    / \  / \    /   \    /   \        /   \    /   \    /   \	 /   \	  
   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x      x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x   

   (2+2)+(3+3) = (2*2)+(2*3)        (3+3)+(3+3) = (2*3)+(2*3) = 2*2*3

Ausgehend von der ursprünglichen, rein additiven Formel repräsentieren wir diese zweite Hierarchie-Ebene durch runde Klammern:
(a+b+c)+(f+g+h)

Zunächst kann dann innerhalb der Klammenr wird die vereinfachte multiplikative Schreibweise angebracht werden:
(d*e)+(f+g+h)

Sollten alle Klammerinhalte gleich sein, wird auch auf der obersten Ebene die additive durch die multiplikative Schreibweise ersetzt:
(d*e)+(d*e) = 2*(d*e) = 2*d*e

Man beachte, das alle Operatoren unserer Termsprache weder kommutativ noch assoziativ sind, und das Klammern explizite Bedeutung tragen, also Operatoren sind. (Dementsprechend gibt es kein "Herausrechnen" des gemeinsamen Faktors bei (2*2)+(2*3), weil die abkürzende Schreibweise nur von unten aufsteigend definiert ist!)

Man lasse sich durch die Operatoren und ihre Anzahl nicht täuschen: die Schreibweisen 2+3+2 und 3*2 stehen beide für zwei Ebenen der Zusammenfassungs-Hierarchie; die Formeln 2*(2+3) und 2*2*3 für deren drei.

Theoretisch muss der Vorgang der Zusammenfassung "bis zur Erschöpfung" fortgesetzt werden, bis also ganz oben eine "mental einfache" Folge steht. Es müssen also die entstehenden Folgen von einfachen Folgen evtl. überführt werden in Folgen von einfachen Folgen von einfachen Folgen. Es ergibt sich allerdings in der Praxis kaum eine Gliederung mit mehr als den in den bisherigen Beispielen notwendigen zwei(2) Schichten von Gruppierungen.

Als Extrembeispiel könnte gelten

                  2                                      2
               /     \                                /      \ 
            /           \                          /            \ 
          2                 2                    2                 2           
        /    \            /    \               /    \            /    \       
      3        3        3        3           3        3        3        3        
    /   \    /   \    /   \    /   \       /   \    /   \    /   \    /   \      
   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x     x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x   

   ((3+3)+(3+3))+((3+3)+(3+3)) = ((2*3)+(2*3)) + ((2*3)+(2*3)) = (2*2*3) + (2*2*3)
  = 2*2*2*3

Dies wäre zu notieren als "24/16-Takt", und kann auch durchaus praktische Relevanz haben, wie weiter unten beschrieben. Diese drei Ebenen der Gruppierung sind aber allemal das Äußerste bezgl. der praktischen Anwendbarkeit, denn hinter der hier so abstrakt wirkenden mathematischen Gestalt steckt doch allemal die praktische Ausführung durch den ausübenden Musiker, die der fortschreitenden Komplexierung Grenzen setzt.

Im klassisch-romantischen Zweig der CWN sind zweifellos die homogenen, multiplikativ schreibbaren Metriken der Normalfall. Diese multiplikative Schreibweise darf aber nicht davon ablenken, dass der mentale Vorgang der Gruppenbildung (jedenfalls oberhalb der "mentalen Zählzeit") auch da ein additiver ist, nicht ein divisiver.

In anderen Stilen sind heterogene, also nicht multiplikativ schreibbare Taktarten hingegen zumindest gleichberechtigt, z.B. in Volksmusiken unterschiedlichster Provenienz.

^{^Inh} 2.9 Weitergehende Komplizierung der metrischen Raster

Die aufgestellten Regeln für unsere Termsprache erlauben aber Baumstrukturen, die nicht so "ausgewogen" sind wie die Beispiele im vorigen Abschnitt.

Im folgenden versuchen wir die wichtigsten Kategorien von zunehmender Komplizierung herauszuarbeiten.

Ungleich vorhandene Ebenen:
Sobald man den Faktor "eins(1)" zuläßt, sprich: Gruppierungen, die nur eine Komponente beinhalten, (und unsere Formulierung oben verbietet das mitnichten!) können die Strukturen unbalanciert werden.

Dann kann z.B der berühmte und häufige "8/8-Takt" auf gleich drei Arten in unserer Termsprache modelliert werden, z.B.

                                                2            2
                                              /    \        /  \
        3        3        2                 3        3     |    |
      /   \    /   \    /  \  	          /   \    /   \   |    | 
     x  x  x  x  x  x  x    x 	         x  x  x  x  x  x  x    x 
       
     3+3+2                              (2*3)+2

Man beachte dass die Bedeutung und auch die Berechtigung beider Terme durchaus vom Interpretationskontext abhängt: Wenn konkrete physiologisch/mentale Zählprozesse modelliert werden sollen ist wohl nur die linke Variante eine zutreffende Wiedergabe.
Die rechte Variante zielt auf eine abstrakte Strukturaussage, nämlich soviel gleichlautende Sub-Terme wie möglich durch multiplikative Schreibweise zu verdeutlichen. Eine zutreffende Modellierung konkreter Zählvorgänge wird hier wohl nicht vorliegen.

Folgendes Beispiel hingegen zeigt einen un-balancierten Baum, der anders schwerlich schreibbar wäre, wo also die unterschiedliche Differenzierungstiefe beider Hälften tatsächlich dem musikalischen Empfinden entspricht:

            1         3
          /       /   |   \
        3       2     2     2 
      /   \    / \   / \   / \ 
     x  x  x  x  x  x   x  x  x
  
     (1*3) + (3*2)

oder auch

        3             3
       / \        /   |   \
      / | \     2     2     2 
     |  |  |   / \   / \   / \ 
     x  x  x  x  x  x   x  x  x

     (3*1) + (3*2)

Das dies mitnichten theoretische Ausgeburt ist, sondern durchaus nachvollziebare praktische Metrik, zeige ein Beispiel wie

Taktarten mit mehreren Grunddauern:
Dieses Bespiel bildet auch gleich den Übergang zur nächsten Kategorie. Wir haben oben in unsere Termsprache die Angabe des Zählers /z eingeführt, aber bisher nicht benutzen müssen.
In der Tat gibt es durchaus metrische Strukturen, in denen mehrere verschiedene Grunddauern auftreten.
Vorangehendes Beispiel könnte man in unserer Termsprache ja auch beschreiben als
3/8 + 3/4

NB stellt das, wenn man es als Modellierung der mentalen/physiologischen Vorgänge auffasst, eine etwas andere Art des Zählens dar, als der oben gewählte Term, nämlich ein Wechsel von einzeln, als Grundschlag empfundenen Achteln zu Vierteln, die dann unterteilt werden, statt bei Achteln zu bleiben und diese nur anders zusammenzufassen.

Den Term als Modellierung des psychischen Apparates aufzufassen ist aber mitnichten erforderlich. Als reine Strukturaussage sind sich hingegen die Terme 3/8 + 3*(2/8) und 3/8 + 3/4 sehr ähnlich, da die Unterteilung der Viertel in zwei Achtel eh die "kanonische und ubiquitäre" ist und ohne weitere Deklaration immer latent stattfindet.

Ein weiteres Beispiel sei das Scherzo aus des Verfassers jüngst vollendeten Vierten Sinfonie:

Die Formel für diese Metrik könnte sein
3/4 + 5/8
also ein deutlicher Wechsel der Zählzeit.

Subtraktive Bildung:
Aber diese Formel ist für die praktische Interpretation keinesfalls zutreffend! Gemeint ist vielmehr (und auch deutlich ausgedrückt durch Motivik, Harmonik und Kontrapunkt) eine Verkürzung, also ein "normaler" 6/4 oder 2*(3/4)-Takt, der um sein allerletztes Achtel beschnitten wird, wo der Folgetakt also "zu früh hineinstolpert".

Dies auszudrücken wäre ein Term adäquat wie
(3/4) + (3/4 - 1/8)
oder
(3/4) + (/4 + /4 + (/4-/8))

Andere Grundwerte, z.B. Triolen:
Damit nicht genug, es gibt durchaus Erweiterungsversuche, auch andere als die binär geteilten Grunddauern der CWN als Zählzeiten zu verwenden.
(In der Tat kombiniert das weit oben schon angeführte Beispiel des 12/16-Taktes ja eine "nominelle" Zählzeit von einem Sechzehntel mit einer "mentalen", die ein punktiertes Achtel dauert!)
Ungewöhnlichere Kombinationen können besonders bestimmt vom Kontext durchaus sinnvoll sein. Wenn z.B. in einem Vier-Viertel-Takt eine triolischer Füllung des gesamten Taktes auftritt, also sechs Triolenviertel, gefolgt von einem verkürzten Takt, der nur fünf(5) der Triolenviertel enthalten soll. Dann kann ein "Fünf-Triolenviertel-Takt" genau das richtige Mittel der Notation sein, besonders wenn es bald danach mit wieder vollständigen Takten (sechs Triolenviertel, resp. vier Vierteln) weitergeht.

Oder auch innerhalb desselben Taktes:

Zeile eins zeigt die originale Weise wie Leonard Bernsteins America notiert ist. Reichlich bieder, aber damals galt das als progressiv. Unsere Formel dafür wäre
(2*3)+(3*2)/8

Zeile zwei ist eine viel aufregendere Variante, ein Rhythmus, den heutzutage, dank der Erfahrung mit elektronisch produzierter Musik, jeder bessere Rapper mit Lippen und Gaumen exakt hervorbringen kann, und den der Verfasser auch immer meint zu empfinden, wenn er an jenes Opus denkt. Hier tauchen gemischt Triolen-Achtel und Achtel im selben Takt als Grundwerte auf. Eine mögliche Formel ist
(2*3/12)+(3/8)

Dass dieser gar nicht sooo weit hergeholt ist zeigt Zeile drei, die ihn auf ein den größten gemeinsamen Teiler umrechnet. Eine mögliche Formel ist
(2*3*2)+(3*3)/16.
aber "mentale Zählzeit" sind natürlich nicht die Sechzehntel!

Dieses Beispiel kann aber auch zeigen, dass die Grenze zwischen "Metrik", als einem trotz wechselnden Inhalten gleichbleibenden Raster, welches die Wahrnehmung bewertet und einfärbt, und "Rhythmus", welches diesen Inhalt direkt ausdrückt, sich gegen das Wahrnehmungsraster verhält, aber dieses auch induziert und anstößt, in der praktischen Anwendung weniger deutlich sein kann als die theoretische Begrifskonstruktion es gerne hätte.

Verfasser hat leider keinen Zugriff auf originale Notate von Apocalypse in 9/4 von Genesis, aber er meint prinzipiell folgendes zu hören:

Der im Titel behauptete Neun-Viertel-Takt kommt nur zu Stande durch die sich verschiebende Überlagerung der Bass-Achtel und der gleichmäßigen Viertel der Rhythmusgruppe. (Die Oberstimme spielt eine freie Orgel-Melodie und trägt nicht zur Definition der Metrik bei.) Hier wäre also zwangsläufig notwendig ein weiterer Operator unserer Termsprache, nämlich für parallele Komposition. Ohne diesen kann der Takt zwar als 2*(4+3+2)/8 begriffen werden, und als 18/8 benannt, es käme aber nie etwas zustande, was man "9/4" nennen dürfte.
Durch die Überlagerung aber geschieht genau das! Nur die gesamte Folge von neun Vierteln kann als wiederkehrend empfunden werden, und nur "9/4" ist die korrekte Benennung, ohne dass die Viertel selber in irgendeinder Weise gruppiert werden! Nein, sie schweben halt gegen den Bass und werden nur dadurch, gleichsam indirekt, umgefärbt.
Diese auf der Ebene der Metrik recht theoretisch klingende Analyse macht aber im tatsächlichen Vollzug den sensationellen Reiz dieses Satzes aus.

---

Keine der zuletzt beschriebenen weiterführenden Varianten erlaubt unsere bis hierhin definierte Termsprache.
Wir wollen sie auch zu diesem Zeitpunkt nicht erweitern! Denn wir vermuten, dass jede Erweiterung nicht die letzte sein kann, d.h. dass in der musikalisch/musikantisch/kompositorischen Praxis immer wieder neue metrische Strukturen entwickelt werden, die von einem geschlossenen System, es sei weit wie es will, nicht erfasst werden können.

Und das ist gut so!

^{^Inh} 2.10 Umrechnung in Taktbezeichnungen

     2 + 3          3       5          2*3     1
     -----         ---  +  ---        ----- - ---
       4            4       8           4      8

       4            4
     -----        -----
       6           16/3

In der Literatur findet man verschiedene Versuche von Übersichten und Zusammenfassungen dieser Erweiterungen. Man sehe besonders die Notationkompendien von Gould und Read, (teilweise auch Stone), wie ausführlich aufgelistet in dem Artikel senza tempo 2012070100 --- Synopsis of Musical Notation Encyclopedias.

Aber alle diese, so löblich und nützlich und wichig sie sind, können unser Bedürfnis nach Systematik in der Behandlung nicht befriedigen, da sie die Vordergrundphänomene besprechen, die Darstellungsebene, ohne die Frage nach einer Semantik, nach einem mathematischen Kalkül als Mittelgrund, auch nur aufzuwerfen.

^{^Inh} 2.11 Interpretation von konventionellen Taktart-Angaben z/n

Bei der musikalischen Interpretation im Rahmen der konventionellen westlichen Praxis liegt aber der genau inverse Anwendungsfall vor: Wir sehen eine Taktart-Angabe, und müssen die nun folgenden Notenfolgen im Sinne der dadurch gemeinten Metrik interpretieren.
Mehr formal: Wir müssen zumeist aus einer stark vereinfachenden Bezeichung "z/n", gebildet nach dem in Abschnitt 2.10 beschriebenen simpelsten Benennungsverfahren, den Term unserer Metrik-Sprache ableiten, der die gemeinte Taktstruktur repräsentiert.

Dies genau ist der Übergang von Vordergrundstruktur in (eine mögliche) Mittelgrundstruktur, der in der Fachliteratur so gerne unterschlagen wird.

Bei der konventionellen Angabe "z/n" ist "n" die Bezeichnung einer Grunddauer "1/n", (also 1/1, 1/2, 1/4, 1/8, allgemein 2^(-k)), die als Zählzeit dient. Diese ist, wie oben ausgeführt, relativ beliebig. Man braucht also nur den Zähler "z" zu betrachten.

Dabei gelten u.a. folgende Sätze:

1. Wenn z eine nicht-prime Zahl größer fünf ist, dann liegt meistens (nicht immer, siehe "8/8" weiter unten!) eine multiplikative innere Hierarchie mit mindestens zwei Ebenen vor. Wenn die Primfaktorenzerlegung von z mehrere verschiedene Basen aufweist, dann stellt sich die Frage nach deren hierarchischer/vertikaler Anordnung.
2. Bei primzahligen Faktoren größer als fünf muss intern eine additive (also nicht multiplikativ abkürzbare) Zerlegung dieser Zahl vorliegen. Es stellt sich die Frage nach der sequentiellen/horizontalen Anordnung der (ja zumindest teilweise von einander verschiedenen) Summanden.
3. Beim Faktor fünf und bei nicht-primen Faktoren größer als fünf kann eine solche additive Zerlegung vorliegen.

Die erste und eine der letzten Fragestellungen können auch kombiniert auftreten: nicht-prime Zahl mit einem Primfaktor größer/gleich fünf, wie "15/8" oder "14/16".

^{^Inh} 2.11.1 Konventionelle Bedeutung der Taktbezeichnungen aus 2^a*3^b

Betrachten wir Frage der Hierarchiedefinition innerhalb des Taktes zunächst für die einfachsten der historisch etablierten Taktarten. Diese haben die Gestalt
"2^a*3^b / n",
(mit n=2^(-k), also vernachlässigbar, s.o.),

a=0 und b>0:
Dies ergibt eine Hierarchie von Dreiteilungen, also "perfekte" Teilungen in der Sprache der älteren Epoche. "9/16" Takte sind durchaus häufig, "27/x" aber wohl seltene Ausnahmen.

So steht der allerletzte Satz der Beethovenschen Klaviersonaten, das Variationenfinale von Opus-hundertelf, ein Gipfelwerk westlicher Musik schlechthin, der schöne Wiesengrund, fast durchgängig im 27/32 ⁶ ! Und in C-Dur! Apotheose der perfekten Teilung!

a=1 und b=0 und
a=2 und b=0:
Dies sind die "geradesten" Takte wie "2/2" und "4/4". Inwieweit "4/4" primitiv ist, also das psychische Empfinden tatsächlich vier(4) Positionen linear hintereinanderstellt, oder ob eine Hierarchie "zwei mal zwei" empfunden wird, ist wohl von Inhalt und Stil abhängig; prinzipiell erscheint beides möglich.

a>=3 und b=0:
Dies aber sind gerade keine geraden Takte mehr! Vielmehr kann eine solche Taktart, (im Rahmen der konventionellen Methode der Taktartbezeichung), immer nur additiv gemeint sein, also 8/8 als z.B. (3+3+2)/8. Warum? Wären bei dem Acht-Achtel-Takt tatsächlich acht gleichmäßig folgende Ereignisse gemeint, so würde das Empfinden von Hörer und Musiker diese lange Folge eben nicht gleich-berechtigt, sondern in irgend einer Zweier-Gruppierung empfinden. Die Taktangabe könnte, ja, müsste entsprechend "gekürzt" werden, auf entweder "4/4" oder "2/2". Dass aber "8/8" geschrieben steht kann nur begründet werden dadurch, dass eben diese "kürzbare" Hierarchie nicht gemeint ist.

Entsprechend stünde z.B. 16/16 für 2*(3+3+2)/16 oder auch (2*3 + 2*2 + 2*3)/16.

a=3 und b=1:
Bei "24/16" gibt es diese Kürzbarkeit dann und nur dann nicht, wenn die Drei-Teilung ganz unten in der Hierarchie liegt. Dann ist "24/16" eine durchaus übliche Bezeichnung für einen "ganz normalen" 4/4 Takt, bei dem jedes Achtel in drei Sechzehntel-Triolen aufgelöst wird, die man aber ohne die lästigen Triolenklammern einfach als Sechzehntel hinschreiben möchte. In unserer Termsprache also (2*2*2*3)/16. Als Konsequenz muss man dann natürlich alle längeren Grundwerte punktieren, so dass die mentale Zählzeit hier das punktierte Viertel oder gar das punktierte Achtel ist, -- dies ist ein in der Praxis doch oft vorkommendes Beispiel für o.e. Verschiebung der Zählzeit-Grenze.

    9/8          3/4        6/8                             12/8
                                  (und nicht etwa            2
     3            3          2           3                   2
     3                       3           2                   3
xxx xxx xxx     x x x     xxx xxx     xx xx xx)       xxx xxx xxx xxx

Das ist eines der ganz zu Beginn dieses Artikels (Abschnitt 1.3, unter "drittens") angekündigten Beispiele, wo eine rein systematisch durchaus einfache mögliche Konstruktion des Mittelgrundes keine Entsprechung in der Vordergrund-Notation hat: Im CWN ist halt aus historischen Gründen eine Zwei-Teilung zwischen zwei Drei-Teilungen nicht vorgesehen.

Die entstehenden "achtzehn Sechzehntel" würden durch eine einfache Angabe wie "18/16" gemäß obiger Regel nämlich als 2-3-3 (von oben nach unten) interpretiert, nicht als 3-2-3, was wir bräuchten:

              18/16          wird konventionellerweise aufgefasst als     
                3                              2 
                2                              3
                3                              3
   xxx xxx   xxx xxx   xxx xxx     xxx xxx xxx   xxx xxx xxx 

Dies unterscheidet die auf pragmatisch-tänzerischer Tradition beruhende metrische Notation von der eher theoretisch-theologisch fundierten der Mensuralnotation, in der eine vollständig freie Kompositionalität aller Teilungen galt, s.o. Auf diese charakteristischen Fehlstelle weist auch Gieseking schon hin [gieseking, Seite 103].

Mit dieser Zusatzregel ergibt sich für alle Taktart-Angaben der Form "2^a*3^b / z" folglich im Rahmen der Konventionen eine eindeutige Metrik als entsprechende Mittelgrundstruktur.

^{^Inh} 2.11.2 Primfaktoren größer drei und additiv begründete Zähler

Treten Primfaktoren größer als drei zusammen mit dem Faktor zwei auf, so kann in Analogie zum vorigen Kapitel festgelegt werden, dass die Zweierpotenzen immer die aller-obersten Teilungsebene bilden sollen. Während dies in den vorhergehenden Fällen (in Verbindung mit dem Faktor drei) durch allerorten verbreitete Konvention begründet ist, wäre diese analoge Anwendung zwar eine "natürliche Erweiterung", aber auch recht beliebig, denn die CWN-Tradition kennt sehr wenige "10/4" Takte und ähnliches.

Ein solcher läßt sich allerdings bequem ohne weitere Maßnahmen konstruieren, da wir oben bereits festgestellt haben, dass auch eine Fünfer-Teilung vom Musiker als "einfach" empfunden und realisiert werden kann. Folglich könnten die Schichtungen 2*5 als auch 5*2 unmittelbar eine Taktart konstruieren.
Die Fünf kann aber auch als "zusammengesetzt" empfunden werden, und ein 10/8-Takt also auch als (3*2)+(2*2) verstanden, oder als 2*(2+3), etc.

Anders schon bei größeren Primzahlen, und auch bei größeren nicht-primen. Hier ist mentale Einfachheit unmöglich, und auf mindestens einer Teilungsebene ist eine asymmetrische, additive Organisation wahrscheinlich, --- bei den Primzahlen zwangsläufigerweise, bei den teilbaren, wie acht(8) und neun(9) als Alternative zur "trivialen" multiplikativen Teilung.

So sind folgende Zerlegungen durchaus üblich:

   5    = 2 + 3 
   5    = 3 + 2
   5    = 2 + 2 + 1
   7    = 2 + 2 + 3 
   7    = 2 + 3 + 2 
   7    = 3 + 2 + 2 
   8    = 3 + 3 + 2 
   8    = 3 + 2 + 3 
   8    = 2 + 3 + 3 
   9    = 4 + 5 
   9    = 4 + 3 + 2 
   9    = //etc.

Im hierarchischen Aufbau des takt-internen Metrik entspricht eine solche Teilung natürlich zwei Ebenen der einfachen multiplikativen Gestaltung. Der Unterschied ist nur, dass auf der unteren der beiden Ebenen halt nicht dieselben, sondern verschiedene Faktoren stehen, der "Plus-Operator" also nicht durch das "Mal" ersetzt werden kann:

                            |
   9 =    3       =   3     |  8 =     3        = 
        / | \         *     |        / | \
       3  3  3        3     |       2  3  3         2 + 3 + 3
                            |

Rein theoretisch kann eine solche asymmetrische Zusammenfassung (genau wie zwei multiplikative Ebenen) in einen größeren hierarchischen Aufbaus der internen Takt-Metrik eingebaut werden, siehe obigen 10/8 Takt als 2*(3+2)

Praktischerweise aber ist eine solche Kombinierbarkeit wohl selten gegeben, wenn man die konkrete Ausführung durch menschliche Musiker voraussetzt, die verbietet, dass die reine Anzahl der (mentalen) Zählzeiten pro Takt zu groß wird.

So ist selbstverständlich ein "15/16" vorstellbar als (2*3)+(3*3)/16 oder als (3*3)+(2*3)/16 oder als 5*3/16. Dabei ist 1/16 die nominelle und 3/16 die mentale Zählzeit, und man zählt "fünf punktierte Achtel", entweder als "zwei plus drei" oder als "drei plus zwei", oder gar "einfach".
Dasselbe als "drei-über-fünf" ist auch noch denkbar, allerdings bietet sich dann wohl an, die obere Grenze der Organisationsbereiche zu verschieben, und schlicht Drei-Takt-Gruppen von simpleren 5/x-Takten zu notieren.

Theoretisch jedoch fügen sich diese additiven, asymmetrischen Schichten kanonisch in einen Gesamtaufbau ein. Im Falle der konventionellen Taktartbezeichnungen ist allerdings nur eine der hierarchichen Schichten derart additiv, die darunter und darüber sind wie im multiplikativen Fall homogen. Besonders für die Ebene darunter, die "x", die durch die additive Formel zusammengefasst werden, gilt, dass diese untereinander identisch sind, z.B. alles Achtel oder alles Viertel.
Unterhalb von "x" gilt das oben für die regelmäßigen Takte Gesagte, dass nur eine Teilung größer zwei(2) in die Taktartbezeichnung einfliesst, weil die Teilung durch zwei eh ubiquitär ist.
Aber auch am oberen Ende der Takthierarachie ist eine "reine zwei" oft überflüssig und kann einfacher als innerhalb der Metrik im oberen Organisationbereich realisiert werden, als Wiederholung von Takten.

Dies alles sind aber Eigenschaften der traditionellen Metriken. Unsere theoretische Termsprache erlaubt hingegen ("frei kompositional") additive Zusammenfassung auf mehreren Ebenen, auch von unterschiedlichen "x".

^{^Inh} 2.12 Wechselnde Metren

Im Organisationsbereich oberhalb der Takte erwähnten wir bereits die Bildung von Taktgruppen (explizit durch textuelle Anweisungen oder implizit, durch die Interpretation das Inhaltes) als wichtiges Mittel der Getaltung.

Ebenfalls in diesem Bereich findet statt, als konkreteres und folgenreicheres Mittel, der Wechsel zwischen verschiedenen Metriken. In der zusammenfassenden Literatur (siehe die Übersicht in senza tempo 20120701 00 --- Synopsis of Musical Notation Encyclopedias) gehen allein schon die Benennungen von wechselnden Metren wüst durcheinander, geschweige denn die Begriffe.

Jedoch sind die Gegebenheiten bei taktweise, also höchst-frequent, wechselnden Metriken recht einfach nach folgenden unabhängigen Kriterien zu sortieren:

1. Wechsel der verschiedenen auftretenden Metriken regelmäßig, also ein Muster mehrfach wiederholend, oder unregelmäßig, quasi "spontan" ?
2. Bleibt die Taktlänge trotz wechselndem Metrum gleichbleibend oder wechselt sie ?

Je nachdem können sich unterschiedliche Konsequenzen für die Notation ergeben:

Ist die Abfolge regelmäßig, so stellt sich zunächst die Frage, ob die obere Grenze der Organisationsbereiche nicht nach oben geschoben werden sollte, also aus der Folge von Metriken eine einzige Metrik konstruiert werden. So kann eine regelmäßige Abfolge von 3/4 und 4/4 Takt ja durchaus zu einem 7/4-Takt zusammengefasst werden, entsprechend der metrischen Formel (3+4)/4
Die dadurch verschwindende Taktgrenze kann ja immernoch als punktierter Taktstrich in der Notation ihre Spur hinterlassen.

Umgekehrtes gilt, wenn die (nominelle) Taktdauer gleich bleibt. Hier gibt es Notationsformen, die nur einmal die Menge der zur Auswahl stehenden Metren angibt, z.B. mit Klammern geschrieben, wie in Nr. XX der Diabelli-Variationen
3/2(6/4)
oder mit Gleichheitszeichen
4/4 = 3+5/8 = 5+3/8
-- danach aber auf jedesmalige Notation des Wechsels der Metrik verzichtet.

Dies ist möglich, da die gleichbleibende Gesamtlänge jede Diskrepanz zwischen (rhythmisiertem) Taktinhalt und Metrik-Angabe niemals "ganz falsch" werden läßt. Besonders wenn in verschiedenen Stimmen eh verschiedene Metriken sich gegenüberstehen, kann ein solch impliziter Wechsel angemessen sein. Die wechselnden Metren können ja meist an der Bebalkung abgelesen werden, oder aber es werden auch hier punktierte Binnen-Taktstriche eingefügt.

Es können sich auch beide Aspekte kombinieren. Eine Notation wie
(3+4)/4 = (4+3)/4
könnte anzeigen, dass eine Folge von gleich-langen sieben-Viertel-Takten folgt, deren jeder spontan wechselnd ohne weitere Anzeige in beiden Polaritäten stehen kann.

Dies sind aber notabene alles nur Aspekte des Vordergrundes! Im Mittelgrund wird schlicht je Takt (oder gar je Takt und Stimme) die jeweils gültige Metrik bestimmt, egal, wie häufig diese (von "aussen" gesehen) wechselt oder bleibt.

^{^Inh} 3 Dauern im Kontext metrischer Notation

^{^Inh} 3.1 Dauern und ihre Darstellung

Komplementär zu den wechselnden Metriken spielt sich die Notation von Dauern und Rhythmen (fast) ausschliesslich in den beiden unteren Organisationsbereichen der Metrik ab, also innerhalb eines Taktes, hinabreichend bis (beliebig weit) unterhalb der Zählzeiten. Rhythmen werden in der taktbasierten Notation (bis auf ganz wenige exotische Ausnahmen, s.u.) ausschliesslich innerhalb eines Taktes notiert. Über die Taktgrenzen klingende Ereignisse, deren es sehr viele gibt, werden tatkweise zerlegt und durch "Haltebögen" (s.u. diesen Abschnitt) wieder zusammengefasst. Dies entspricht der gundlegenden Orientierungsfunktion des Taktes in der taktbasierten Notation (und darum heißt diese so !-)

Der Inhalt eines Taktes ist stets, wie erwähnt, eine beliebig gemischte, aber lückenlose Folge von Noten- und Pausen-Ereignissen, deren Summe der Länge des Taktes bei gegebener Taktart entspricht. Seien die Dauern der Ereignisse dieser Folge nun gegeben als von der Notation unabhängig und sollen nun metrisch korrekt für eine bestimmte Taktart notiert werden. Je nach Position eines Ereignisses im Takt muss dessen Dauer auf unterschiedliche Art in Notation übersetzt werden.

Dies ist deshalb problematisch, weil es zur Darstellung einer gegebenen musikalischen Dauer (z.B. kodiert als eine bestimmte rationale Zahl) sehr unterschiedliche Möglichkeiten gibt, unter denen auszuwählen ist. Diese ergeben sich durch die Kombination von

1. Grundsymbol
2. n-olen Klammer
3. Verlängerungspunkt
4. Haltebogen

Sei eine darzustellende Dauer als rationale Zahl gegeben, wobei, wie oben erwähnt, "1" für die Ganze Note stehe, "1/4" für eine Viertel, und "1/3" für die Dauer, die dreimal in eine "1" passt (also die herkömmliche "Halbe-Triole"), etc.

Zunächst einmal kann für jede zu notierende Dauer ein Grundsymbol ausgewählt werden. Üblich sind in der metrischen Notation heutzutage noch: "Brevis" mit Wert 2, die "Ganze" mit 1, die "Halbe" mit 1/2, die "Viertel" mit 1/4, und so weiter.

Die Grundsymbole erlauben also Dauern von d1=2^n, wobei meist gilt n<0. Diese Dauern d1 nennen wir auch Grunddauern.

Die graphische Erscheinung der Grundsymbole ist nur teilweise systematisch und ergibt sich durch ihre Ableitung aus den entsprechenden Symbolen der Mensuralnotation, besonders aus der dort über Jahrhunderte sich erstreckenden Tendenz zu immer kürzeren Notenwerten als Bezugsgrößen.

Ihre Systematik ⁷ ist ...

Folgen mehrere Noten mit "Fähnchen" aufeinander, so können statt der einzelnen Fähnchen auch durchgehende Balken geschrieben werden. Obwohl sie zunächst nur als eine Vereinfachung des Schreibvorganges entstanden ist, ist diese Notationsform für unser Thema höchlichst relevant: Die zusammenfassende Wirkung der Balkengruppen, wie auch eventuelle Unterteilungen durch Unterbrechung aller oder einiger Balken, müssen nämlich ebenfalls die hierarchische Gliederung der Taktmetrik widerspiegeln. Damit ist das Finden der korrekten Balkensetzung wichtiger Teil unseres Generalthemas.

Durch das Setzen einer n-olen Klammer kann jeder dieser Werte statt in zwei(2) in n Werte der nächst-kleineren Stufe geteilt werden. So kann eine "Halbe Note" in drei(3) "Triolen-Viertel" aufgeteilt werden. ⁸ Die Dauer eines jeden Triolen-Viertels beträgt (logischerweise) 1/6. Ebenso kann eine ("normale") Viertel in drei Triolen-Achtel unterteilt werden, deren Dauer je 1/12 beträgt.

Ein Triolen-Viertel selbst wird behandelt wie ein "normales" Viertel: Es kann z.B., ohne dass eine weitere notationelle Maßnahme notwendig wird, in zwei Achtel oder vier Sechzehntel zerlegt werden. Deren Dauer ist logischerweise entsprechend kürzer als die der aus "normalen" Vierteln entstandenen, also 1/12 resp. 1/24.

Das Achtel, das durch Halbierung eines Triolen-Viertels entsteht ist also (rein mathematisch, rein nominell) gleichlang wie das Triolen-Achtel, dass durch Dreiteilung eines "normalen" Viertels entsteht. Dennoch sind sie notationell zunächst verschieden. Auch wird ersteres in der Musizier-Praxis nicht in allen Kontexten als "Triolen-Achtel" benannt werden, sondern u.U. ähnlich wie "das zweite Achtel in dem Triolen-Viertel" oder "das vierte Achtel in der Viertel-Triole". Auch können die intra-psychischen Prozesse im Musiker bei ihrer Hervorbringung und die beim Rezipienten ausgelösten Empfindungen in beiden Fällen durchaus unterschiedlich sein. Dies alles ist, wie erwähnt, stark von Kontext, Stil, Gattung und Epoche abhängig. Die Hierarchie der metrischen Teilung ist eben in beiden Fällen eine andere, es ist etwas fundamental anderes, erst durch zwei und dann durch drei zu teilen, oder umgekehrt.

Der rein mathematischer "Dauernwert" der Endresultate hingegen in beiden Fällen identisch, besagtes 1/12.

Meist gilt bei diesen n-olen n=3, Triolen sind die häufigsten n-olen. Aber grundsätzlich sei für n (zunächst) jede ungerade natürliche Zahl möglich. (Gerade Zahlen sind nicht erforderlich, wenn es nur um die Erzeugung von Dauernwerten geht. Sie sind nur in bestimmten metrischen Kontexten sinnvoll: bei sog. "Sextolen" und in Taktarten mit ungeraden Faktoren. Sie werden weiter unten behandelt, Abschnitt 3.1.3).

Somit erweitert sich die Menge der darstellbaren Dauern auf d2= d1 * t1^-1 * t2^-1 * ... *tn^-1, mit tk beliebige ungerade natürliche Zahl größer eins.

Man beachte aber, dass im Rahmen der konventionellen Rhythmusnotation eine Dauer mit einer Dauer d*tk^-1 nicht "eigenständig" notiert werden kann, sondern dass zu ihrer Herleitung eine Note der nächst höheren Teilungsebenen, also der Dauer d in tk Teile zerlegt werden muss. Die konstruierte Dauer wird also im selben Teilungsschritt mit tk-1 "Geschwistern" konstruiert, die im Notat zwangsläufig auftauchen müssen und in irgendeiner Form Verwendung finden müssen zur Notation von vorangehenden oder nachfolgenden Ereignissen. Eine "isolierte Triolenachtel" z.B. ist (in diesem Zusammenhang) ein Widerspruch in sich, wenn sie auch in Aussagen über Musik auftreten kann, oder in avancierteren, eher additiv bestimmten Verfahren der Metrik-Definition, siehe unten Abschnitt 3.1.4.

Zum dritten kann durch eine Punktierung (oder "Verlängerungspunkt" oder "Wertpunkt") die Dauer jeder (nach Schritt eins und zwei bestimmten) Einzelnote um ihre Hälfte verlängert werden, also auf das 1 1/2-fache ihres Grundwertes. Zwei Punkte verlängern auf das 1 3/4-fache, drei auf das 1 7/8 fache. Es kommt also mit jedem Punkt die Hälfte der vorigen Verlängerung dazu.

Diese Notation hat den Sinn, dass die Kombination zweier Noten die im rhythmischen Verhältnis 1:3 (oder 7:1 oder 1:15, etc) stehen, in sehr vielen Stilen, Gattungen und Epochen recht häufig sind, und sich deshalb eine sie unterstützende sparsame Spezialnotation entwickelt hat.

Die durch die Kombination aller drei Mittel darstellbaren Dauern sind also d3 = d2 * (2-2^(-p)), mit p>=0.

Zuletzt können durch Haltebögen (engl. "tie") mehrere Notensymbole zu einem Ereignis additiv zusammengefasst werden. Wichtig ist, dass der Haltebogen einzig auf der Ebene der Dauernberechnung definiert ist, und in der konkreten Ausführung alle nicht-ersten Noten keiner merkbaren Parameteränderung entsprechen. Das unterscheidet den Haltebogen fundamental vom "Bindebogen" (engl. "slur") und vom "Phrasierungsbogen".

Seine rein auf die Dauernberechnung bezogene Semantik wird dadurch verschleiert, dass einige Informationen in alle aneinander angebundenen Notensymbole redundanterweise einkodiert werden müssen: Soll eine Spielereignis mit der Tonhöhe "e-eins" für die Dauer 9/8 notiert werden, so kann dies nur durch Addition von Dauern ausgedrückt werden, z.B. indem eine Ganze und eine Achtel mit einem Haltebogen verbunden werden, oder eine punktierte Halbe und eine punktierte Viertel. In beiden Fällen müssen aber beide Notensymbole nun die Tonhöheninformation "e-eins" ausdrücken. Dies ist redundant, da ja nur ein einziges Spielereignis gemeint ist, aber die CWN erlaubt es halt nicht, Notensymbole überhaupt hinzuschreiben, die nur Längen aber keine Tonhöhen bezeichnen. ⁹

Die Tatsache, dass das zweite Notensymbol auch die Tonhöhe e-eins bezeichnet, ist aber streng genommen mitnichten eine Tonhöhen-Information! Vielmehr besagt diese Tatsache (in Verbindung damit dass die zweite Note keine weiteren Attribute wie Spielanweisungen etc. trägt) umgekehrt eben nur, dass das graphische Symbol des Bogens tatsächlich ein Halte-Bogen ist (und nicht etwa ein Bindebogen, etc.), dass also von dem graphischen Symbol der zweiten Note nur die Dauer relevant ist, und diese zur Dauer des vorangehenden Notensymboles dazuzurechnen ist, um die Gesamtdauer desjenigen Ereignisses zu bestimmen, dessen übrigen Parameter (Tonhöhe, Lautstärke, Artikulation, etc.) ausschliesslich durch das erste Notensymbol bestimmt werden. Dies ist ein komplizierter, aber typischer und häufiger Fall von Windschiefigkeit zwischen Vordergrundgestalt und Mittelgrundgehalt.

Diese Art der "Überbindung" kann beliebig oft angewandt werden, also auf mehr als nur zwei(2) Noten.

Damit sind alle rationalen Zahlen als Dauernwerte darstellbar.
Beweis:
Sei p/q die darzustellende Dauer, so ist 1/q durch Auswahl eines Grundwertes (entsprechend der Potenz von 2 in der Primfaktorzerlegung von q) und durch geschachtelte n-olen Klammern (entsprechend den anderen Faktoren darin) darstellbar. Davon können nun p aufeinanderfolgende Exemplare ganz schematisch durch Haltebögen addiert werden.

Dass die so erzeugte Notationsform in den meisten Fällen nicht praktikabel ist, leuchtet ein; dies genau ist ja unser Grundproblem der adäquaten Notierung.

^{^Inh} 3.1.1 Auswirkungen der n-olen im Mittelgrund

Die Mehrheit der konventionellen Kompendien musikalischer Notation stellt n-olen nur als Variante zur Notation von Rhythmen dar. Gieseking weist zumindest darauf hin, dass sie unser Ausgangsproblem erheblich erschweren können, dass sein und Byrds Algorithmus damit nur partiell umgehen kann, und dass sie am besten durch Wechsel in ein "temporäres lokales 'Untermetrum'" zu behandeln wären.

Ausgehend von der oben aufgestellten Definition der drei Organisationbereiche läßt sich das Auftreten von n-olen und die Abschätzung der Konsequenzen auf die Metrik aber durchaus präziser verorten:

Am wenigsten kritisch sind die n-olen, die sich im unteren Organisationsbereich befinden, also unterhalb der Zählzeit. Dort sind sie scheinbar ein "rein rhythmisches" Phänomen. Bei genauerer Betrachtung wird auch dort eine "lokale Metrik" instantiiert, diese kann aber mit dem gewichtsbasierten Algorithmus (in der Ausbauform durch Gieseking) behandelt werden.

Dann aber können n-olen auch im mittleren Organisationsbereich auftreten und so die metrische Hierarchie in eine konsequenzenreich andersartige überführen. Dies ist im Falle von synkopiert einsetzenden n-olen von diesen Algorithmen nicht mehr adäquat auflösbar, siehe das Beispiel bei [gieseking, S. 112].

Zuletzt können sie sogar in bestimmten Notationsstilen Taktgrenzen überschreiten, somit zwei Takte zu einer neuen (lokalen) Metrik kombinieren und also gar im obersten Organisationsbereich angesiedelt sein.

^{^Inh} 3.1.2 Mehrdeutigkeiten der Vordergrund-Repräsentation von n-olen

Vordergrundrepräsentation und Semantik der n-olen haben sich historisch entwickelt, und führen zu bestimmten Widersprüchen, die wir hier zunächst deutlich herausarbeiten müssen, um dann eine Lösung vorzuschlagen. Ihr Grundprinzip ist zunächst einfach und scheint eindeutig, und dieses und die konfligierenden Konsequenzen sollen an einfachen Beispielen dargestellt werden.

Wie bereits ausgeführt sind die einfachsten n-olen die Triolen. Im einfachsten Falle wird eine gut als solche erkennbare Gruppe von drei gleichlangen Notenwerten über ihrer mittleren Note mit einer kleinen Ziffer "3" bezeichnet. Das soll bedeuten, dass in der Gesamt-Hierarchie der Notendauern auf genau der Teilungsebene, die die Gesamtdauer der Gruppe in die Dauer der Einzelnoten überführt, der übliche Faktor zwei durch den Faktor drei ersetzt wird.
Die Erkennbarkeit der Gruppe ergibt sich entweder schon durch ihre Bebalkung, oder wird durch eine zusätzliche eckige Klammer (älterer Usus: runder Bogen) hergestellt.

Der historische Entwicklungsprozess bringt nun die Forderung hervor, dass diese Konstruktion in mehreren Dimensionen völlig frei kompositional eingebettet werden könne.
Zum einen (a) sind statt der drei auch beliebig andere Faktoren erlaubt anzugeben, und zum andern (b) können alle Methoden der Dauernkonstruktion- und Notation, wie im vorigen Abschnitt beschrieben, also Unterteilung, n-olen, Punktierung und Überbindung, auf die Einzelnoten der Gruppe angewandt werden, genau wie auf beliebige "normale" Noten ausserhalb einer solchen. Einziger Unterschied sind die sich ergebenden Dauernwerte, bei denen halt eine "Verkürzung um den Faktor 2/3" stattgefunden hat.
Statt alle Einzelnoten der Gruppe zu erzeugen, wie oben formuliert, kann statt mehrerer solcher auch ein(1) entsprechend längeres Notensymbol verwendet werden, siehe nächstes Beispiel. Man kann sich das auch erklären durch eine neu hinzutretende, bisher nicht nötige Operation, (c) die Verschmelzung von einer echter Untermenge der erzeugten Einzelnoten.

Die Kombination dieser Verfahren jedoch führt relativ schnell zu Widersprüchen in dem Sinne, dass die Vordergrundgestalt der Notation links- oder gar recht-uneindeutig wird. Dies ist aber lediglich eine technische Frage der Notation, und neuere Verfahren haben dieses Problem behoben und tatsächlich volle Kompositionalität erzielt.
Da der historische Vorgang bis zur endgültigen Klärung des Problems aber so typisch ist, soll er hier in Kürze dargestellt werden.

Zunächst einmal erscheint kein Problem:

Die erste Gruppe nennt man "Viertel-Triole", die drei darin auftretenden Dauernwerte "Triolen-Viertel" (oder ungenau auch "Viertel-Triole"). Drei "Viertelnoten-Symbole" nehmen die eigentlich für nur zwei davon zur Verfügung stehende Dauer ein. Es sind also "Sechstelnoten", ihre rechnerische Dauer beträgt 1/6.
Die mittlere Viertel wird durch das ubiquitäre Mittel der Zweiteilung in Achtel aufgespalten, der Länge 1/12.
Die zweite Gruppe ist entsprechend eine "Achtel-Triole". Die Achtel sind alle gleich lang, nämlich 1/12. Es ist für die berechnete Dauer ja egal, auf welcher Ebene der Dauern-Hierarchie der Faktor zwei durch die drei ersetzt wird. (Für das "feeling" des Interpreten, die Art des Zählens und Messens, können u.U. aber beide Varianten etwas fundamental anderes hevorrufen, wie oben erwähnt.)

Die dritte Triole zeigt eine Viertel-Triole, bei der die ersten beiden der durch die Triolierung enstandenene drei Viertel zu einer Halben zusammengefasst sind, gemäß obiger Operation (c) "Verschmelzung".

Unterhalb der Triolierung können, nach Forderung (b), alle Maßnahmen der Dauernableitung angewandt werden, was die Notation u.U. schwer zu lesen macht, und die Klammer um die Gesamtgruppe durchaus erforderlich:

Es ist aber auffällig, dass der Divisor des Proportionsfaktors explizit als kleine Ziffer im Text auftaucht, der Dividend allerdings aus der Länge der "überklammerten" Gruppe gefolgert werden muss. Das führt schnell zu Problemen:

In der ersten Hälfte des obersten Taktes werden, folgend dem Gebot der Kompositionalität (b) die Triolen-Viertel ihrerseits in Triolen-Achtel aufgelöst; in der zweiten Hälfte, folgend der anderen Forderung nach kanonischer Erweiterung (a), die vier Achtel durch fünf "Quintolen-Achtel" ersetzt, die nach demselben Prinzip konstruiert sind, also leicht beschleunigt sind und die Dauer der ursprünglichen vier Achtel einnehmen.

Die zweite Zeile zeigt zur Orientierung die unbeeinflusste Standard-Abfolge der Dauernwerte.

Die dritte Zeile zeigt aber, dass die neun Anschläge von ganz oben viel näher an den (unbeeinflussten) acht Sechzehnteln liegen, als an den vier Achteln. Obwohl die Schreibweise als neun Achtel, durch zweimaliges "Triolieren", systematisch (syntaktisch und semantisch) absolut korrekt und eindeutig ist, ist es die als neun Sechzehntel-Nonolen (analog zu den fünf Achtel-Quintolen von oben!) ebenfalls. Das führt dazu, dass Achtel- und Sechzehntel-Symbole, die sich eigentlich immer um den Faktor zwei in ihrer Dauer unterscheiden, nun gleich lang erklingen!

Berühmtes Beispiel für dieses Paradox ist der Anfang der "instrumentalen Durchführung" im Finale des Liedes von der Erde von Gustav Mahler. Da notiert der Meister ab Zf. 36:

... und das ist falsch!
Es müssten natürlich Viertel-(Doppel-)Triolen sein, oder Achtel-Nonolen!

Dank einer in frühen zwanzigsten Jahrhundert eingeführten Neuerung wird die Konsistenz von Vordergrund und Mittelgrund wieder hergestellt. Dabei wird der Beschleunigungsfaktor explizit angegeben, resp. der Kehrwert des Dauernfaktors. Der Dividend wird also genauso explizit gemacht wie der Divisor:

5:4 liest man als "fünf zu vier", was heissen soll: es werden fünf von der Sorte X auf die Zeit verteilt wo sonst nur vier derselben Sorte stehen. Der Multiplikator für die Dauern ist dann 4/5, unabhängig von der Wahl von X. Diese Schreibweise ist folglich die unversellste und allemal vorzuziehen.

Mit ihr wird der Widerspruch in der ersten Takthälfte des Beispieles (X9) aufgehoben: Auf die Achtel wird eben der Faktor 2/3 zweimal angewandt, also 4/9, auf die Sechzehntel hingegen der Faktor 8/9. Verrechnet mit dem Verhältnis der originalen Dauernsymbole ergibt beides die identische Dauer:
1/8 * 2/3 * 2/3 = 1/18 = 1/16 * 8/9

Die letzten beiden Notenzeilen zeigen, dass nun beide Schreibweisen mit derselben Berechtigung und Konsistenz angewandt werden können:
4/9 * 1/8 = 1/18

Derartige "Proportionen" waren, wie oben erwähnt, in der Mensuralnotation der Renaissance tägliches Brot; ihre Kenntnis und die Fahigkeit im Umgang mit ihnen dann aber verlorengegangen. Ihr frühestes Wieder-Auftreten in der Moderne scheint uns im Zweiten Akt Siegfried: beim Auftreten des Waldvogels setzt der Komponist die Formel "9=6" dazu und braucht einen mehrzeiligen Text, um genau zu erklären, wie dies denn ausgeführt werden soll.

Wie man sieht löst diese Darstellungsweise auch ein typisches "Häufelproblem":

Ab wann wird aus einer Triole eine Sextole? (Dieses Problem auch bei [gieseking, S. 112]) Alle obigen Schreibweisen sind üblich, aber widersprüchlich! Mit der Proportionalnotation braucht man das nicht zu entscheiden, denn für rationale Zahlen gilt halt 2/3 = 4/6.

Eine andere in neuerer Zeit vorgeschlagene Notationsform ist eine n-olen Klammer, die den gesamten notierten Inhalt der n-ole überspannt, und in deren Mitte das Symbol der Dauer der Orignialmetrik steht, auf das dieser Inhalt verteilt werden soll.

Der Vorteil dieser Notation ist, dass man sofort erkennt, wie der Inhalt der n-ole als Ganzer sich in den Rest des Taktes einbettet. Der Nachteil ist, dass die herrschende Proportion erst durch explizites Aufaddieren des notierten Inhaltes und In-Beziehung-Setzen zu jenem Notensymbol errechnet werden muß.

Eine leider sehr weit verbreitete Variante davon setzt das Zeichen der Gesamtdauer nicht alleine, sondern nach unten in eine bruch-ähnliche Konstruktion. Oben steht dann eine einfache Zahl.
Dies ist aber eine sehr dumme Notationsform, denn diese Zahl hat keinerlei Bedeutung.

^{^Inh} 3.1.3 Kompliziertere n-olen

Die n-olen bisher fügen sich in den Kontext der metrischen Hierarchie ein und ersetzen nur den Teilungsfaktor genau einer Ebene lokal durch eine anderen.

Foglich gibt es im selben Sinne Duolen, und allgemeiner, n-olen mit n=2^k, wenn der ersetzte originale Teilungsfaktor eben keine Zweierpotenz ist. (Die Schreibweise als punktierte Dauer hat fast immer allerdings dasselbe rechnerische Ergebnis.)

Als nächste Komplexierungsstufe kann die n-olen Schreibweise aber auch querständig zur Ausgangshierarchie angewandt werden. Dabei werden also die gruppierten n Dauern der n-ole auf eine Folge von Zählzeiten verteilt, die in der originalen Metrik nicht zusammengefasst werden.
Dabei kann sogar eine Taktgrenze überquert werden. (Die oberste Zeile dient nur zur Orientierung:)

In den letzten beiden Zeilen hat die zusammengefassten Folge von Dauern, auf die die drei Viertelnoten verteilt werden sollen, eine Länge von 5/8. Das aber ist keine Grunddauer, und auch keine durch Punktierung oder n-olierung erzeugbare Dauer. Nur additiv, durch Haltebögen ist diese Dauer erzeugbar, nach der Formel 1/8+1/2 oder 1/8+1/4+1/4.

(Von den in unserem Übersichtsartikel senza tempo 2012070100 --- Synopsis of Musical Notation Encyclopedias aufgelisteten Autorn weist übrigens nur E. Gould auf diese Möglichkeit hin, die aber andererseits die "synkopisch verschobenen" n-olen ausläßt. Es ist eh bemerkenswert, wie unterschiedlich die Auswahl der besprochenen Aspekte von n-olen bei den verschiedenen Autoren ist, siehe unsere Synopsen-Matrix.)

Gerade für einen solchen Fall wird manchmal die o.e. Notationsweise "Anzahl zu Dauernsymbol" empfohlen, obwohl sie hier nicht besser ist als oben beschrieben.
Vielmehr sollte auch hier ganz einfach die Proportion bestimmt werden, nämlich, wie oben beschrieben, "3:2.5", d.h. die Dauer von zweieinhalb Vierteln wird verwendet für drei Viertel.

Das Programm lilyond [lilyPond], mit dem wir die Beispiele erzeugen, kann das aber nicht verarbeiten, sondern braucht die erweiterte Form "5/6", was dieses Programm dann nur mit dem Nenner ausdruckt (die "6" in der Mitte der Klammer). Falsch ist es nicht, aber auch nicht eindeutig.

Unser Metrik-Baum kann selbstverständlich alle diese rhythmischen Phänomene als Metriken ausdrücken:

1. (1/4 + 3*1/6 + 1/4) + (4*3/16 + 1/4) entspricht Zeile zwei,
2. 2*1/4 + 3*1/3 + 1/2 entspricht Zeile drei, bis auf den mittleren Taktstrich,
3. (1/4 + 1/8 + 3*5/24) entspricht dem ersten Takt der letzten Zeilen.

Man glaube nun nicht, dass derartige Konstrukte nur Hirngeburten avantgardistischer Theoretiker sind. Nein, gerade in romantischer Produktion können derartig querständige n-olen im Sinne einer "auskomponierten Agogik" zur Steigerung der Expressivität herangezogen werden. So in des Verfassers op. 13, Über die Dinge -- vier Lieder nach Rilke:

Der Tod ist grosz,
Wir sind die seinen,
Lachenden Mund's.
Wenn wir uns mitten im Leben meinen,

^{^Inh} 3.1.4 Verselbständigte n-olen

Im Rahmen der modernen Fortentwicklung der rhythmischen Möglichkeiten, sei es in Jazz, Neuer Musik oder Elektro, können nun n-olen durchaus als eigenständige Dauernbestimmungen verwendet werden:
Im Gegensatz zu ihrer Entstehung im Kontext von CWN, wo immer nur z.B. drei(3) Triolen quasi "gleichzeitig" das Licht der Welt erblicken können, indem sie zwei normale Viertel ersetzen, kann man eine einzelne Viertel-Triole einfach als Wert "1/6" = "ein Sechstel" betrachten und ohne die Notwendigkeit einer Dreiergruppe additiv in einen Takt einbauen.

Auf der psychischen Ebene der Produktion kann man z.B. einen Takt wie "Drei Viertel plus zwei Sechstel" relativ natürlich empfinden als "drei Viertel plus eine Viertel-Triole, deren letzes Viertel rausgeschnitten, ge-break-t, wird."

Als Taktangabe wären möglich:

3 2 9 4 13 --- + --- = --- + --- = ---- 4 6 12 12 12

Unabhängig von der Schreibweise ist die Mittelgrund-Struktur, gegeben als Metrik-Formel und als Baum-Diagaram ...

3*1/4 + 2*1/6 / \ / \ / \ /|\ /\ / | \ / \ 1 1 1 1 1 - - - - - 4 4 4 6 6

Man überzeugt sich leicht das eine "rein lokale" Verwendung der Triolenproportion "3:2" auch über einer einzelnen Note genau dieselbe Bedeutung hat wie über jeder beliebig großen geklammerten Gruppen, nämlich Dauernverkürzung mit dem Faktor "2/3":

Die letzte Zeile soll, wie oben schon bei den verschiedenen Bernstein-Varianten (Abschnitt 2.9), wieder zeigen, dass die Konstruktion keinesfalls übermäßig exotisch ist: Durch Wechsel der Bezugsgröße, kompensiert durch Wechsel des Tempos, erreicht man eine viel konventionellere Notation derselben Verhältnisse.

^{^Inh} 3.2 Algorithmen zur metrisch korrekten Notation von Rhythmen

Eine Lösung des Notationsproblems heiße lokal, wenn für eine gegebene metrische Hierarchie für jedes musikalische Ereignis (Ton oder Pause) allein aus seiner taktrelativen Anfangsposition und seiner Dauer die zu wählende Notation eindeutig bestimmt ist. Hingegen ist ein Lösung kontext-sensitiv, die darüber hinaus mehr oder weniger Information über den Inhalt des Taktes ausserhalb des zu notierenden Ereignisses kennen muss.

Die zu Beginn erwähnten Algorithmen von Byrd in [byrd] und Gieseking in [gieseking] basieren auf der Definition eines "metrischen Gewichtes" (bei ersterem "rhythmic strength"), welches allen rationalen Zeitpunkten relativ zur Taktdauer zugeordnet wird.

Die Notationssoftware lilyond [lilyPond] beinhaltet einen tabellen-basierten Algorithmus zur Balkensetzung.

Diese Lösungen werden nun genauer dargestellt, diskutiert und kritisiert.

^{^Inh} 3.3 Die gewichtsbasierten Algorithmen

    1/1   x
    1/2   x              x
    1/4   x      x       x       x
    1/12  x x x  x x x   x x x   x x x  
Gewicht:
          4 1 1  2 1 1   3 1 1   2 1 1 
Zeitpunkt:| | |  | | |   | | |   | | |
          0 | |  | 1/3   | | 2/3 | | |
            1/12 |   5/12| |     3/4 |
              1/6|       1/2       5/6
                 1/4       7/12      11/12

Ausgehend von dieser Gewichtsfunktion ¹⁰ werden nun Regeln definiert für

1. Dauernzerlegung,
2. Pausenzerlegung
3. und Balkensetzung.

"(Notationelle) Zerlegung" bedeutet dabei die Bestimmung aller takt-relativen Zeitpunkte, an denen für das Klang- oder Pausen-Ereignis (gegeben durch takt-relativen Startpunkt und Dauer) ein neues Notensymbol erscheinen soll. Im Falle eines Klang-Ereignisses wird dieses an das Vorgänger-Symbol mit einem Haltebogen angebunden. Dadurch sind unmittelbar auch die Dauern der einzelnen zu setzenden Symbole festgelegt.

Die Regeln für die Zerlegung von Dauernwerten klingender Ereignisse sind bei beiden Autoren weitgehend identisch:

1. Wenn ein oder mehrere Zeitpunkte in der klingenden Dauer echt enthalten sind, die um mindestens zwei Einheiten stärker gewichtet sind als der Einsatzzeitpunkt, dann zerlege an ihrem frühesten. Ein Zeitpunkt ist in einer Dauer "echt enthalten", wenn vor und nach ihm Teile dieser Dauer liegen.
2. Andernfalls: ¹¹
   Wenn zwei (oder mehrere) Zeitpunkte in der klingenden Dauer echt enthalten sind, die stärker gewichtet sind als der Einsatzzeitpunkt, dann zerlege an ihrem frühesten.
3. Andernfalls:
   Wenn der Endzeitpunkt (der Anfangszeitpunkt des Folgeereignisses) metrisch leichter ist als der Einsatzzeitpunkt, und ein Zeitpunkt in der klingenden Dauer echt enthalten ist, der schwerer gewichtet ist als die Anfangsposition, dann zerlege an diesem.
4. Gieseking fügt als letzte Regel hinzu:
   Wenn die Dauer einen Zeitpunkt x enthält schwerer als der Startpunkt, und nach diesem noch einen Zeitpunkt gleichschwer zum Startpunkt, UND der letzte schwerere Zeitpunkt vor dem Startpunkt nur um eins(1) schwerer ist als dieser, dann zerlege bei x.

Diese Regeln werden rekursiv angewandt, d.h. eine "Zerlegung" erzeugt zwei Dauernwerte, deren erster allemal notiert wird und mit dem Folgewert mit einem Haltebogen (s.o. Abschnitt 3.1) verbunden wird. Der zweite hingegen wird wieder nach diesen Regeln auf Zerlegung überprüft.

Die letzte dieser Regel ist schwer zu finden, aber unverzichtbar, und ihre Herausarbeitung die wichtigste Leistung in diesem Abschnitt von [gieseking]. Man beachte, dass sie als einzige nach obiger Definition nicht lokal ist!

Zerlegung von Pausen wird nur von Gieseking explizit behandelt. Seine Regeln lauten ...

1. Wenn ein oder mehrere Zeitpunkte in der Pausendauer echt enthalten sind, die mindestens gleich schwer sind wie der Einsatzzeitpunkt, dann zerlege an ihrem frühesten.
2. Ist der Einsatzzeitpunkt der Pause um mehr als eins schwerer als der des nachfolgenden Ereignisses, dann zerlege beim frühesten Auftreten des echt-enthaltenen maximalen Gewichtes.

Zusätzlich führt Gieseking eine Regel an, die auf dem Endergebnis der rekursiven Anwendung dieser Schritte arbeitet und zerlegte Pausen wieder verschmilzt:

1. Enstehen so vier aufeinander folgende gleiche Pausensymbole, so verschmelze das an der schwersten Stelle stehende mit seinem Nachfolger zu seinem doppelt so langen Symbol. ¹²

Wir halten diese Regeln und ihre Konsequenzen für durchaus diskussionswürdig in dem Sinne, dass hier parametrisierbare Regeln die praktische Wirklichkeit besser abbilden würden.
Obige Version erlaubt z.B. keinerlei punktierte Pausen, ausser zur Auffüllung einer vollständigen Dreier-Einheit der expliziten Taktmetrik (also im von uns so genannten "mittleren Organisationsbereich").
Für diesen Kontext ist auch die Regeln Nr. 2 gedacht. Gieseking meint entdeckt zu haben, dass Viertelpausen im Sechs-Achtel-Takt oder Halbepausen im Sechs-Viertel-Takt generell verboten sein sollen, und dazu soll diese Regel dienen.
(Sie ist allerdings unvollständig, da sie auch dazu führt, dass in einem Vier-Viertel-Takt eine Achtelpause auf der Eins zerlegt wird in zwei Sechzehntel !-)
Die Partitur des Rheingold z.B. verfährt hingegen genau entgegengesetzt: Pausiert die ganze erste Hälfte des Sechs-Achtel-Taktes, so steht dort eine Viertel gefolgt von einer Achtel-Pause, also genau jene Zweier-Zusammenfassung die Gieseking ausschließt. Nie aber steht dort eine punktierte Viertel!

Der Verfasser hingegen liebt es, Pausen zu punktieren, und tut dies zwar mit mehr Zurückhaltung als mit klingenden Noten, prinzipiell aber sowohl als Bestandteil von positiven wie von negativen Punktierungen.

Die Formulierung der Pausen-Regeln ist also in der Tat komplexer als man meint, es existiert keine eindeutige Lösung, und die Formulierung der verschiedenen Alternativen scheint sich durchaus aufwendig zu gestalten. Umso erstaunlicher, dass dieses Thema "in keiner der gängigen Allgemeinen Musiklehren behandelt wird" [gieseking, S. 115].

Balkensetzung wird ebenfalls nur in [gieseking] explizit behandelt. [byrd] bringt nur einen aufwendigen Algorithmus zur Bestimmung der Richtung von Teil-Balken ("Balkenstückchen"), basierend auf metrischen Gewichten, den der spätere Autor aber als überflüssig bezeichnet.

Dort findet sich stattdessen eine einfache Regel für die Richtung der Teil-Balken, und ein Algorithmus zur Abtrennung von Balkengruppen.

Die explizit aufgelisteten und inferierbaren Eigenschaften von dessen Ausgabe sind eine wertvolle Checkliste, und Katalog für mögliche Parametrisierung:

1. Maximal sechs Noten sollten zu einer Balkengruppe zusammengefasst werden,
2. es sei denn eine Unter-Gruppierung wird durch eine ausgedünnte Mitte der Balkung hergestellt,
3. oder die Anzahl der gleichen Werte ist durch eine Zahl explizit angegeben, im Falle einer n-ole.
4. Jede Balkengruppe endet spätestens vor einer Zählzeit, die gleich schwer oder schwerer ist als die Zählzeit an der sie begann.
5. Dabei werden aber alle ununterbrochenen vorangehenden Pausen (rückwärt suchend bis zu einem lokalen Maximum des Taktgewichtes) als virtuelle Bestandteile der Balkengruppe betrachtet (um den häufigen Fall der "fehlenden Eins" wie ein nachträgliches Streichen aus einer bebalkten Gruppe zu behandeln!)
6. Allgemein werden abgespalten die minimalen Gruppen, die mindestens drei Gewichts-Stufen tief sind, und mindestens zwei Anschläge beinhalten, die nicht vom schwersten dieser Gewichte sind.

Diese Regeln sind durchaus kritisch zu sehen. So bringen sie die erste Zeile des folgenden Beispiels hervor, obwohl in vielen Stilen die Schreibweise der zweiten Zeile die bessere wäre:

Auch weist der Autor darauf hin, dass die Forderung nach mindestens zwei "leichteren" Anschlägen pro Balkengruppe zu-kleine Gruppen vermeiden soll, wie die ersten beiden Zeilen des folgenden Beispiels zeigen, dass aber evtl. die kleinere Gruppengröße genau die gewünschte sein kann, wenn die Binnenstruktur wechselt, siehe Zeile drei. Diese Differenzierung bedürfte wieder einer typischen nicht-lokalen Regel!

Teil-Balken am Rande der Balkengruppe sollen immer nach "innen" zeigen. Alle innenliegenden nach links, wenn eine schwerere Zählzeit folgt, sonst nach rechts.

Diese einfache Regel gälte aber nicht mehr in modernerem Bebalkungs-Stil, wenn nämlich Pausen in die Bebalkung integriert werden, sei es durch Verlängerung der Balken extra für eine Pause, oder auch nur durch Überbalkung im Falle einer von Ereignissen umrahmten Pause. Eine Achtel- gefolgt von einer Sechzehntel-Note gefolgt von einer Sechzehntel-Pause könnte dann mit zwei Teil-Balken enden, die beide nach aussen zeigen, auf die Pause hin, und diese so virtuell in die Balkengruppe inkludieren:

Alle strategischen Entscheidungen zur Pausen-Integration müssten eh Gegenstand von Parametrisierung sein.

Würdigung und Vergleich beider Arbeiten:

Die besprochenen Kapitel beider Arbeiten sind wertvolle Beiträge, in denen grundlegende Fragen der musikalischen Orthographie zum ersten Male einer stärker mathematisch orientierten Modellierung unterworfen wurden. Dass sie wie alle Pionierarbeiten unvollständig und verbesserungswürdig sind, scheint notwendig.

Für unsere eigene Forschungs- und Programmiertätigkeit bilden sie wertvolle Vorarbeiten, die u.a. ein genaues Verorten von Varianten, Entscheidungen und Parametrisierungen sehr vereinfachen.

Zumeist sind die Erweiterungen Giesekings gegenüber Byrd durchaus richtig und wichtig, besonders die letzte Regel zur Synkopenspaltung, s.o. Manche Modifikationen sind allerdings Verschlimmbesserungen:
Bei Byrd ist das metrische Gewicht für eine gegebenen Taktart einmal festgelegt.
Gieseking meint nun das ursprüngliche Verfahren zu verbessern, indem er dieses induktiv herleitet (S. 104): Er bildet die größte gemeinsame Dauer aller irgendwo im Takt auftretender n-olen, und definiert das metrische Gewicht durch die Überlagerung aller sich derart ergebender möglicher Raster.
Darüber hinaus ersetzt er die ursprünglich von null an abwärts gehende Zählweise durch positive Zählung.

Dies erscheint uns eine Verschlechterung: Die ursprünglich rein lokale Entscheidung wird ersetzt durch eine stärker kontext-sensitive: Treten im zweiten Viertel (wie in seinem Beispiel) Quintolensechzehntel auf, so werden die in die ("globale") Gewichtsfunktioni des gesamten Taktes erst eingerechnet, fallen aber bei all den Takt-Teilen, in denen sie im Rhyhthmus garnicht präsent sind, durch o.e. Regeln wieder heraus.

Man könnte argumentieren, dann sei doch kein Schaden entstanden. Aber ein Algorithmus, der zwar das richtige Ergebnis liefert, aber dabei die kausalen Strukturen der anzuwendenden Begrifflichkeiten nicht abbildet, bleibt philosophisch doch unbefriedigend. Die Konstruktionsregel, diese n-olen nach abnehmendem Teilungsfaktor geordnet in das metrische Gewicht einzuarbeiten ist z.B. eine völlig beliebige.
Ebenso beliebig ist es, den Takt (in seiner Rolle als Dauer) überhaupt zum Regulator dieser Zusammenfassung zu machen.
Grundlage jedoch all dieser Verschlechterungen ist es, dass der Sinn der negativen Zählrichtung nicht respektiert wurde: Sie nämlich macht die o.e. Regelsammlung bei Byrd zu einer jederzeit lokal transparent erweiterbaren, ohne dass zunächst ein Takt als ganzer erst vollständig durchgerechnet sein müsste.

Mangel beider Verfahren ist, dass zwar "korrekte Zerlegungen" bereits notierter Dauern behandelt werden, nicht aber das viel allgemeinere Problem, einen ganz ohne Notation gegebenen Dauernwert des Mittelgrundes (z.B. codiert als rationale Zahl) überhaupt erst in eine Notation zu übersetzen.
Dem entspricht vice versa, dass zwar von "eventuell nicht darstellbaren Rest-Dauern" und "maximalen Wertpunkten" geredet wird, deren Problematik aber von der der metrisch korrekten Darstellung abgetrennt und in Nebensätzen als trivial lösbar behauptet wird. ¹³
Das ist falsch.
Dass eine 15/16 nicht als dreifach punktierte Halbe dargestellt wird, ist über den eindimensionalen Parameter "maximal erlaubte Punktierung" einstellbar. Ob aber eine punktierte Halbe mit angebundender punktierter Achtel die bessere Darstellung als eine Halbe mit doppelt punktierter Viertel ist, wagen wir ohne Kenntnis der gemeinten Metrik nicht zu beurteilen.

^{^Inh} 3.4 Balkengruppen in lilypond

Die Notensatz-Software lilypond ist "open source", so dass ihre Algorithmen nachvollziehbar und teilweise auch als solche dokumentiert sind.

Das Programm (in der Version 2.14.xx) besitzt keinerlei Funktion zur automatischen Zerlegung oder Darstellung von Dauernwerten. Vielmehr gibt der Benutzer explizit die Folgen der Dauernwerte an, einschliesslich Haltebögen, etc. Hingegen verfügt es über Automatismen zur Bebalkung, die durchaus betrachtenswert sind.

Zunächst einmal kann durch Anhängen der eckigen Klammern an Notenwerte der Anfang und das Ende einer Balkengruppe explizit definiert werden, oder durch ein Kommando \noBeam die Fähnchen-Darstellung erzwungen. Beides nennt sich "manual beams". Nur diese können Pausen überspannen, resp. anschliessen. Darüberhinaus kann für jeden Notenhals die Anzahl der links und rechts ansetzenden Balken explizit überschrieben werden.
Gleichzeitig gilt aber dennoch eine Teil-Automatik: Die Anzahl der Balken wird aus der Dauer der Noten errechnet. Eventuelle Unterteilungen durch Unterbrechungen der Bebalkung orientieren sich an der Dauer des "beats" (i.e. Zählzeit) und sind explizit an- und abschaltbar.

% ... \set subdivideBeams = ##t \set baseMoment = #(ly:make-moment 1 8) c'16[ c' c' c' c'32 c' c'16 c' c'32 c'] % ...

...liefert an der Achtelgrenze geteilte Balkengruppen...

Demgegenüber sind "automatic beams" errechnet aufgrund eines mehrstufigen Parametrisierungsmechanismus. Grundlage sind die Werte baseMoment und beatStructure, die ungefähr unserer nominellen und mentalen Zählzeit entsprechen. Letztere ist eine Liste von natürlichen Zahlen, welche unmittelbar die zu bebalkenden Gruppen angeben, gemessen in der ersteren.

Weiterhin kann mit beatExceptions eine Abbildung von "Dauer zu Zeitpunktliste" angegeben werden, die für alle Gruppen, welche genau diese Dauer als kürzeste enthalten, angeben, an welcher taktrelativen Position diese Gruppe zu enden hat. Damit kann das in [gieseking] durch dynamische Regeln angestrebte Ergebnis auf tabellarischem Wege erreicht werden. So kann z.B. festgesetzt werden, dass "Nur-Achtel" in Vierergruppen verbalkt werden, Sechzehntelgruppen aber in kleineren. Folgendes Beispiel ist artifiziell, als es letztere in beiden Takthälften unterschiedlich behandelt:

% ...

\time 4/4
%% dies stellt die DEFAULTS her, danach überschreiben:

\set Timing.beamExceptions =
  #'(                        
     (end .                  
      (                      
       ((1 .  8) . (4 4))  
       ((1 . 16) . (4 4 8))  
      )))                    

     c'8 c' c' c'   c' c' c' c' 
   | c'8 c'16 c'16 c'8 c'16 c'16 c'8 c'16 c'16 c'8 c'16 c'16 |
% ...

...liefert diese Balkengruppen...

Für jede "Taktart-Angabe" können diese drei verschiendenen Einstellgrößen vordefiniert sein; wann immer die Taktart frisch angewählt wird, werden diese zu den aktuellen gemacht, bis sie explizit überschrieben werden.

Interesssant, wie flexibel und ausdrucksfähig diese einfache tabellarische Methode ist.

^{^Inh} 3.5 Nur nicht-lokal lösbare Probleme

Während verständlicherweise weitestgehende Lokalität (im Sinner der Definition oben in Abschnitt 3.2) bei jedem Lösungsvorschlag anzustreben ist, gibt es wenige Notationsprobleme, die durchaus nicht-lokaler Natur sind, die also nicht entschieden werden können ohne sich größere Kontexte anzusehen.

Gieseking konstruiert folgendes Beispiel, nach den Angaben von Chlapik, [chlapik, S. 52]:

In der ersten Zeile kann die zweite Hälfte des Takts problemlos durch eine einzige Pause dargestellt werden. Um das Metrum des Taktes zu klären, dass also auf einen Blick sichtbar ist, dass es sich um 12/8 und nicht um 6/4 handelt, reicht die erste Takthälfte.
In der zweiten hingegen muss die Pause zu genau demselbem Zwecke aufgelöst werden!
(Der Vergleich mit Zeile drei zeigt, dass die hierarchische Schichtung der Teilungen sonst nicht erkennbar wäre.)

Ein anderes Beispiel: Die erste Zeile zeigt Takt 137 f. der ersten Violinen aus dem Adagio von Bruckners Dritter in der ersten Fassung, so wie in der Gesamtausgabe Band III/1 tatsächlich gestochen!

Die die Taktmitte synkopisch überspannenden Achtelnoten b' und ges'' werden also (vom hochprofessionellen Notenstecher dieser Ausgabe und von den wissenschaftlichen Herausgebern!) als gut lesbar angesehen, wenn sie Bestandteil einer durchgehenden synkopischen Folge sind.

Hingegen, wie die zweite Zeile zeigt, sind dieselben Noten von Pausen umgegeben orthographisch allemal ungewöhnlich, wenn nicht gar als falsch zu bezeichnen.

Zeile drei zeigt, dass die Pausen sogar so bleiben könnten, wenn nur die Synkope, die ja die alleroberste Taktteilung betrifft, explizit gemacht wird.

^{^Inh} 3.6 Unser Vorhaben eines graphbasierten Algorithmus'

Um all diese Beschränkungen aufzuheben, und um mit lokalen, taktübergreifenden, und spontan definierten Metriken die Menge des Behandelbaren, zumindest potentiell, deutlich zu erweitern, planen wir im Rahmen von tScore einen andersartigen Algorithmus, basierend auf Muster-Suche in Graphen.

Die anzuwendenden Grundregeln sind hingegen selbstverständlicherweise sehr ähnlich zu denen der zitierten Autoren, deren Bedeutung für unsere Arbeit nicht zu überschätzen ist. Andererseis soll unser Algorithmus deutlich über das oben Vorgestellte hinausgehen, als die Graphen, die die Metriken repräsentieren, "selbst-modifizierend" agieren können, wenn spontan auftretende "krumme" Werte lokale Metriken erfordern, ein Problem dass die Vorgängerautoren ausklammern mussten.

^{^Inh} 4 Bibliographie

¹ So ist z.B. ein ärgerlicher Entwurfsfehler in lilypond, dass die Dauer von unvollständigen Takten (mittels "\partial") und von ganztaktigen Pausen (mittels "R") mit der Vordergrund-Struktur der Notendauer (also als evtl. punktierte Noten-Grunddauer) anzugeben ist. Benötigt würde aber eine Angabe als Rationale Zahl, aus dem Mittelgrund; einzig dies ermöglicht dort Dauern wie 5/8!

² Wobei Notation ja immer bedeutet nicht nur ein System des Aufschreibens, sondern auch, ja vielmehr noch, eines des Denkens!

³ Selbst dieser fundamentale Satz ist einzuschränken wegen der "Brahms-Punktierung". Aber auch ohne diese bezieht er sich stets auf die Mittelgrundstruktur und gilt nicht unbedingt in der sichtbaren Vordergrundgestalt dieser "Stimme", wegen möglicher "unsichtbarer" und "gemeinsamer" Pausensymbole.

⁴ Im Zusammenhang mit komplexeren Metriken mit wechselnden Grundschlägen ist zu beachten dass die hier auf unterster Ebene auftretenden rationalen Zahlen pure quantitative Angabe der Dauer sind, und keine Strukturaussagen! Ein Grundschlag wie "3/16" oder gar "5/32" würde also implizit, wie jeder andere, wie erwähnt immer nur durch zwei(2) geteilt, also in 3/32, 3/64, etc., resp. 5/64, 5/128, etc.

⁵ Wir werden in Kürze allerdings auch "5*3" ausnahmsweise als "einfache Folge" zulassen!

⁶ Benannt allerdings als "9/16" mit weggelassener Triolen-Klammer.

⁷ Um die Notensymbole anzuzeigen muss ein Darstellungs-Font installiert sein für den Unicodebereich U1D180 ff.

⁸ Meist wird der Aufteilungs-Vorgang selber, oder die aus drei aufeinander folgenden "Triolen-Vierteln" bestehende Gesamtstruktur als "Viertel-Triole" bezeichnet. Die Benennung "Viertel-Triole" ist aber auch für ein einzelnes "Triolen-Viertel" durchaus üblich.

⁹ Es gibt allerdings moderen Erweiterungen von CWN, die das durchaus ermöglichen.

¹⁰ Es findet bei beiden Autoren noch eine Nach-Modifikation statt. Zur Verstärkung der Trennwirkung von Dreiergruppierungen, so sie in der Taktart benannt sind, wird deren "eins" doppelt gezählt. Im obigen Beispiel hieße die Gewichtsfolge also 5 1 1 3 1 1 4 1 1 3 1 1. Dies wird allerdings für Pausen nicht angewandt.

¹¹ Dieses "andernfalls" vermuten wir nur als anzuwendenden Konjunktion, denn keiner der beiden Autoren äußerst sich präzise zu der Priorisierung der Regelsammlung!

¹² Deshalb, weil es heisse "vier gleichwertige Pausen können in einem Takte niemals nebeneinander stehen", bei Hader, 1948, welches uns aber leider nicht vorliegt.

¹³ Gieseking behauptet, dass seine Abbildung 4.5, ein veraltetes Flußdiagramm mit globalen, nicht deklarierten und kaum lesbaren Variablen, sei "ein kleiner Algorithmus, der den Zähler eines beliebigen Notenwertes gemäß maximal erlaubter Punktierung in kleinere Summanden zerlegt." Derartiges ist nur geeignet, Leser, die nicht wissen, was ein sauber geschriebener Algorithmus ist, zu beeindrucken, und alle anderen abzuschrecken. Überhaupt sind viele seiner Formeln mehr "for show" hingeschrieben, als dass sie wirklich etwas bedeuteten oder gar fehlerfrei wären. Schade.

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